Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 120 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 16 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

30 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 40° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 30 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 5,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 5,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 70° kampu virš horizontalės ir nukrinta 20 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 70°R = 20 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo 40 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 26 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,1 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 60° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 1,1 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,5 kg rutuliukas ant 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,5 kgr = 0,6 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 15 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 45°μ = 0,15d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 35 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 8 m aukštyn šlaitu.

m = 5 kgF = 35 Nθ = 30°μ = 0,1d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

7 kg sviedinys, horizontaliai judantis 22 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 5 kg skeveldra toliau juda pirmyn 75 m/s greičiu. Raskite 2 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 7 kgu = 22 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 75 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 10 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 800 kgm₂ = 1800 kgd = 10 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 420 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 3,2 kgk = 420 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

800 Hz dažnio šaltinis, judantis 25 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, tolsta vienas nuo kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 800 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

405 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 500 linijų milimetrui. Raskite 3 eilės maksimumo kampą θ₃.

N = 500 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 74,07 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7,5) = 74,07 m

Atsakymas

s = 74,07 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 38,05 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Aukštis virš žemės

h_max = 25 + 13,05 = 38,05 m

Atsakymas

h_max = 38,05 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 234,3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 189,2 + 45,09 = 234,3 N

Atsakymas

F = 234,3 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 3,004 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·5,035) = 3,004 m

Atsakymas

d = 3,004 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 17,47 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·20/sin 140°) = 17,47 m/s

Atsakymas

v₀ = 17,47 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 98,68 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 25° = 23,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 25° = 10,99 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 40 + 10,99·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,99 + √(120,7 + 784,8))/9,81 = 4,188 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 23,56·4,188 = 98,68 m

Atsakymas

x = 98,68 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 4,023 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,1·sin 60° = 0,9526 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9526·9,81·tan 60°) = 4,023 m/s

Atsakymas

v = 4,023 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 45,74 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·7²/0,6 = 4,905 + 40,83 = 45,74 N

Atsakymas

T = 45,74 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 7,804 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,7071 = 3,468 N

F = μN = 0,15·3,468 = 0,5203 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,5203·15 = 7,804 J

Atsakymas

W_f = 7,804 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,464 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 4,248 N

Darbas ir energija

½mv² = (35 − 28,77)·8 = 49,82 J

v = √(2·49,82/5) = 4,464 m/s

Atsakymas

v = 4,464 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = −110,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 7·22 = 154 kg·m/s

Judesio kiekis po

154 = 5·75 + 2·v′₂

v′₂ = (154 − 375)/2 = −110,5 m/s

Atsakymas

v′₂ = −110,5 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad antroji skeveldra lekia atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 32,19 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·10) = 9,905 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·9,905/800 = 32,19 m/s

Atsakymas

v₁ = 32,19 m/s

(115,9 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,837 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Atsakymas

T = 2,837 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,9165 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(420/3,2) = 11,46 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,08·11,46 = 0,9165 m/s

Atsakymas

v_max = 0,9165 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 713 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 800·(343 − 15)/(343 + 25)

f′ = 713 Hz

Atsakymas

f′ = 713 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₃ = 37,41 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,6075

θ = 37,41°

Atsakymas

θ₃ = 37,41°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics