Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 50 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 1,7 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 1,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 140 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 25 kgF = 140 Nθ = 15°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

3 kg kaladėlė ant 20° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 5,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 3 kgm₂ = 5,5 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 26 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 35 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 3 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 35 m/sθ = 40°h_roof = 3 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 0,3 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 15° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 0,3 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,3 kg rutuliukas ant lengvo 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,3 kgr = 0,6 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

1200 kg automobilis važiuoja į 8° šlaitą pastoviu 54 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 350 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1200 kgθ = 8°F_r = 350 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1,5 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 10 kgh = 1,5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

800 kg automobilis, judantis 19 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,35 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 8 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 15 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,35 kgv_in = 8 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2,4 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

15 g kulka, lekianti 450 m/s greičiu, pataiko į 2,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 200 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 15 gv = 450 m/sM = 2,5 kgk = 200 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Viena mašina tam tikrame taške sukuria 65 dB garso lygį. Raskite lygį β tame taške, kai vienu metu veikia 3 vienodų mašinų (nekoherentiniai šaltiniai).

β₁ = 65 dBn = 3

β = dB

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

600 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,5 mm. Ekranas yra 3 m atstumu. Raskite tarpą Δy tarp gretimų šviesių ruožų.

λ = 600 nmd = 0,5 mmL = 3 m

Δy = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 16,08 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6) = 16,08 m

Atsakymas

s = 16,08 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 13,53 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(1,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 583,1 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·583,1))/(2·4,905) = 1,661 s

Gylis

d = ½·9,81·1,661² = 13,53 m

Atsakymas

d = 13,53 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,065 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 140·sin 15° = 209 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 135,2 − 83,61

a = 51,62/25 = 2,065 m/s²

Atsakymas

a = 2,065 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 29,13 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 10,07 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,531 N

Sistemos pagreitis

a = (53,96 − 10,07 − 5,531)/8,5 = 4,513 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 4,513) = 29,13 N

Atsakymas

T = 29,13 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 44,29 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24,43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8,893 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·8,893/9,81 = 1,813 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 24,43·1,813 = 44,29 m

Atsakymas

x = 44,29 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 119,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 26,81 m/s, v_y = 22,5 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

3 = 22,5·t − 4,905·t²

t = (22,5 + √(22,5² − 2·9,81·3))/9,81 = 4,449 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 26,81·4,449 = 119,3 m

Atsakymas

x = 119,3 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 0,4518 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 0,3·sin 15° = 0,07765 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,07765·9,81·tan 15°) = 0,4518 m/s

Atsakymas

v = 0,4518 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 175,1 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,6 = 86,71 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,3·86,71/0,6 − 1,3·9,81 = 175,1 N

Atsakymas

T_top = 175,1 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 29,83 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 8° = 1638 N

F = 1638 + 350 = 1988 N

Galia

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1988·15 = 29825 W = 29,83 kW

Atsakymas

P = 29,83 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,698 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(1,5 − 0,25·1,5) = 110,4 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,125) = 4,698 m/s

Atsakymas

v = 4,698 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 66,67 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·19/2400 = 6,333 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·800·19² = 144400 J

K_after = ½·2400·6,333² = 48133 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 96267/144400 = 66,67 %

Atsakymas

ΔK/K = 66,67 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 402,5 N

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,35·(15 + 8) = 8,05 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 8,05/0,02 = 402,5 N

Atsakymas

F_avg = 402,5 N

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,108 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Atsakymas

T = 3,108 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 30,1 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,015·450/2,515 = 2,684 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(200/2,515) = 8,918 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 2,684/8,918 = 0,301 m = 30,1 cm

Atsakymas

A = 30,1 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: β = 69,77 dB

Bangos: periodinė banga per vieną periodą nukeliauja vieną bangos ilgį, todėl v = fλ, kur T = 1/f. Ištemptoje stygoje v = √(T/μ), kur T yra įtempimas, o μ = m/L masė metrui. Garsas ore sklinda maždaug 343 m/s greičiu 20 °C temperatūroje, šviesa vakuume – c = 3,00 × 10⁸ m/s. Garsumas matuojamas logaritminiu mastu: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, kur I₀ = 10⁻¹² W/m², todėl 10 kartų didesnis intensyvumas prideda 10 dB. Taškinis šaltinis savo galią P skleidžia sfera: I = P/(4πr²).

Bendras intensyvumas

I = 3·I₁

Lygis

β = 65 + 10·log₁₀(3) = 69,77 dB

Atsakymas

β = 69,77 dB

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: Δy = 3,6 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·3/(0,5 × 10⁻³) = 3,6 mm

Atsakymas

Δy = 3,6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics