Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 280 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1300 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys A be pradinio greičio numetamas iš 30 m aukščio. Tuo pačiu metu kamuolys B tiesiai po juo nuo žemės išmetamas vertikaliai aukštyn 14 m/s greičiu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y virš žemės jie susitinka?

H = 30 mv_0B = 14 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

50 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 40° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 50 kgθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 120 N jėga traukia priekinę 1 kg kaladėlę; 5 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgF = 120 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 25 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 16 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

310 m spindulio posūkis turi 12° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 310 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,6 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

800 kg automobilis važiuoja į 5° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 750 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 800 kgθ = 5°F_r = 750 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 25 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 2 m aukštyn šlaitu.

m = 2 kgF = 25 Nθ = 30°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

600 kg automobilis, judantis 8 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1500 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 600 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,1 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 9 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 12 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,1 kgv_in = 9 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,8 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,8 kgk = 230 N/mA = 7 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 40 N/m, atitraukiamas 14 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 1,1 kgk = 40 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

1000 Hz dažnio šaltinis, judantis 20 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 20 m/s greičiu, artėja vienas prie kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Stovintis stovėjimo jutiklis siunčia 35 kHz ultragarsą į automobilį, artėjantį 10 m/s greičiu. Raskite jutiklio gaunamo aido dažnį f″ (garso greitis 343 m/s).

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,327 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1300) = 2,327 m/s²

Atsakymas

a = 2,327 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: y = 7,477 m

Susitikimo laikas

Teigiama kryptis aukštyn, žemė – y = 0.

30 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 30/14 = 2,143 s

Susitikimo aukštis

y = 14·2,143 − ½·9,81·2,143² = 7,477 m

Atsakymas

y = 7,477 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 428 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 315,3 + 112,7 = 428 N

Atsakymas

F = 428 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 100 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (120 − 11,77)/6 = 18,04 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(18,04 + 1,962) = 100 N

Atsakymas

T = 100 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 4,995 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 9,899²/(2·9,81) = 4,995 m

Atsakymas

H = 4,995 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 43,35 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 20° = 15,04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 20° = 5,472 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 25 + 5,472·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,472 + √(29,95 + 490,5))/9,81 = 2,883 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 15,04·2,883 = 43,35 m

Atsakymas

x = 43,35 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 25,42 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(310·9,81·tan 12°) = 25,42 m/s

Atsakymas

v = 25,42 m/s

(91,53 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,426 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Atsakymas

v_min = 2,426 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 28,68 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 5° = 684 N

F = 684 + 750 = 1434 N

Galia

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1434·20 = 28680 W = 28,68 kW

Atsakymas

P = 28,68 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,856 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 9,81 N

μ·mg·cos θ = 3,398 N

Darbas ir energija

½mv² = (25 − 13,21)·2 = 23,58 J

v = √(2·23,58/2) = 4,856 m/s

Atsakymas

v = 4,856 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 71,43 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·8/2100 = 2,286 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·600·8² = 19200 J

K_after = ½·2100·2,286² = 5486 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 13714/19200 = 71,43 %

Atsakymas

ΔK/K = 71,43 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 2,1 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,1·(12 + 9) = 2,1 N·s

Atsakymas

J = 2,1 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,3811 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(230/3,8) = 7,78 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 7,78·√(0,07² − 0,05²) = 0,3811 m/s

Atsakymas

v = 0,3811 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,8442 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(40/1,1) = 6,03 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,14·6,03 = 0,8442 m/s

Atsakymas

v_max = 0,8442 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 1124 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 20)/(343 − 20)

f′ = 1124 Hz

Atsakymas

f′ = 1124 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f″ = 37102 Hz

Dažnis prie automobilio

f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz

Aido dažnis

f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz

Atsakymas

f″ = 37102 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics