Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 29 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 4 m/s² pagreičiu. Kokiu atstumu nuo savo pradinio taško policijos automobilis pasiveja? Raskite d.

v_car = 29 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 16 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

9 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 9 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 34 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 19 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 60 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 55 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 55 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,8 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 2 m nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

25° šlaito apačioje esanti 800 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 10 cm prie 2 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,2. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 2 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,5 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 20° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 1 kgL = 0,5 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,9 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

12 g kulka, lekianti 100 m/s greičiu, pataiko į 3,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 200 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 12 gv = 100 m/sM = 3,5 kgk = 200 N/m

A = cm

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,4 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo pagrindinės (pirmosios) harmonikos dažnį f₁.

v = 343 m/sn = 1L = 0,4 m

f₁ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Difrakcinė gardelė turi 400 linijų milimetrui. Šviesa, kurios bangos ilgis 550 nm, krinta į ją statmenai. Kokia didžiausia matoma šviesaus maksimumo eilė m_max?

N = 400 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 420,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/4 = 14,5 s

Kelias

d = v·t = 29·14,5 = 420,5 m

Atsakymas

d = 420,5 m

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 58 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 53,05 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Aukštis virš žemės

h_max = 40 + 13,05 = 53,05 m

Atsakymas

h_max = 53,05 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,554 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 40° − 0,1·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,0766) = 5,554 m/s²

Atsakymas

a = 5,554 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 21,26 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 12,75)/9 = 1,308 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·1,308 + 12,75 = 21,26 N

Atsakymas

T = 21,26 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 102,1 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·17/9,81 = 3,466 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 29,44·3,466 = 102,1 m

Atsakymas

x = 102,1 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 62,15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 19·sin 20° = 6,498 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 6,498²/(2·9,81) = 2,152 m

Aukštis virš žemės

H = 60 + 2,152 = 62,15 m

Atsakymas

H = 62,15 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 23,23 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·55) = 23,23 m/s

Atsakymas

v_max = 23,23 m/s

(83,62 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,801 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Atsakymas

v_min = 2,801 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 10,67 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,9063 = 35,56 N

F = μN = 0,15·35,56 = 5,335 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 5,335·2 = 10,67 J

Atsakymas

W_f = 10,67 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 0,3376 m

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(19,62·(0,4226 + 0,2·0,9063)) = 0,3376 m

Atsakymas

d = 0,3376 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −1,8 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·3 = −1,8 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·3 = 1,2 m/s

Atsakymas

v′₁ = −1,8 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 64,87 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 20°) = 0,03015 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,03015) = 0,7692 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 1,012·0,7692/0,012 = 64,87 m/s

Atsakymas

v = 64,87 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,903 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,9/9,81) = 1,903 s

Atsakymas

T = 1,903 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 4,528 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,012·100/3,512 = 0,3417 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(200/3,512) = 7,546 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 0,3417/7,546 = 0,04528 m = 4,528 cm

Atsakymas

A = 4,528 cm

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₁ = 428,8 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,4/1 = 0,8 m

Dažnis

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Atsakymas

f₁ = 428,8 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m_max = 4

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Didžiausia eilė

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,55 µm = 4,545 → m_max = 4

Atsakymas

m_max = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics