Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

36 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 3 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 36 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 5 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

20 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 30 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 20 kgF = 30 Nθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

3 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 20° kampu virš horizontalės ir nukrinta 135 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 20°R = 135 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo 5 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 13 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 30 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 30 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,5 kg rutuliukas ant 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,5 kgr = 0,7 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 6 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0,25k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

13 kg sviedinys, horizontaliai judantis 27 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 2 kg skeveldra toliau juda pirmyn 35 m/s greičiu. Raskite 11 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 13 kgu = 27 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 35 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 13 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 14 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,45 kgv_in = 13 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,6 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 480 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2 kgk = 480 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 4 cm atstumu prieš ploną lęšį (sklaidomasis), kurio židinio nuotolis 25 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 4 cmf = −25 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du plyšiai, nutolę 0,1 mm, apšviečiami monochromatine šviesa. Ekrane, esančiame 1 m atstumu, šviesus ruožas, kurio numeris 4, yra 23,56 mm nuo centrinio ruožo. Raskite bangos ilgį λ.

d = 0,1 mmL = 1 my₄ = 23,56 mmm = 4

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 16,67 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3) = 16,67 m

Atsakymas

s = 16,67 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,035 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−30 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 30 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,035 s

Atsakymas

t = 3,035 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,5067 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 30·sin 15° = 188,4 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 28,98 − 18,84

a = 10,13/20 = 0,5067 m/s²

Atsakymas

a = 0,5067 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 19,81 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 7,357)/6,5 = 4,15 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·4,15 + 7,357 = 19,81 N

Atsakymas

T = 19,81 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 45,39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·135/sin 40°) = 45,39 m/s

Atsakymas

v₀ = 45,39 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 21,64 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 40° = 9,959 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 40° = 8,356 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 5 + 8,356·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,356 + √(69,83 + 98,1))/9,81 = 2,173 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 9,959·2,173 = 21,64 m

Atsakymas

x = 21,64 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 13,29 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·30) = 13,29 m/s

Atsakymas

v_max = 13,29 m/s (47,84 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 50,62 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·8²/0,7 = 4,905 + 45,71 = 50,62 N

Atsakymas

T = 50,62 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,9174 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·500·0,06² = 0,9 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/0,981 = 0,9174 m

Atsakymas

h = 0,9174 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,132 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(1 − 0,25·2) = 24,53 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,5) = 3,132 m/s

Atsakymas

v = 3,132 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 25,55 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 13·27 = 351 kg·m/s

Judesio kiekis po

351 = 2·35 + 11·v′₂

v′₂ = (351 − 70)/11 = 25,55 m/s

Atsakymas

v′₂ = 25,55 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 12,15 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(14 + 13) = 12,15 N·s

Atsakymas

J = 12,15 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,537 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s

Atsakymas

T = 2,537 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 16,8 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(480/2) = 15,49 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,07·15,49² = 16,8 m/s²

Atsakymas

a_max = 16,8 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −3,448 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/4

d_i = −3,448 cm

Spindulių diagrama

menamasis, toje pačioje pusėje kaip daiktas

Atsakymas

d_i = −3,448 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 589 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = y·d/(mL) = 0,02356·0,0001/(4·1) = 5,89 × 10⁻⁷ m = 589 nm

Atsakymas

λ = 589 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics