Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 19 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 2 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 19 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 5 s greitėja 2 m/s² pagreičiu, tada 26 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 5 st₂ = 26 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg ir 3 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite krovinių pagreitį a.

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 85 N jėga traukia priekinę 9 kg kaladėlę; 7 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 7 kgm₂ = 9 kgF = 85 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 14 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 14 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 14 m/sθ = 60°x = 14 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 33 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 7 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 33 m/sθ = 70°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 130 m spindulio posūkį įveiktų 60 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 130 mv = 60 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

50 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 50 mθ = 25°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1500 kg automobilis važiuoja į 3° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 800 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).

m = 1500 kgθ = 3°F_r = 800 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2000 kg automobilis, judantis 12 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 700 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 2000 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 11 m/s greičiu važiuojantis 1100 kg automobilis susiduria su į šiaurę 16 m/s greičiu važiuojančiu 1000 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 1100 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 170 N/m, atitraukiamas 10 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 1,5 kgk = 170 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose pritvirtinta styga turi turėti, kad jo 2-osios harmonikos dažnis būtų 360 Hz; bangos juo sklinda 180 m/s greičiu. Raskite jo ilgį L.

v = 180 m/sn = 2f₂ = 360 Hz

L = m

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 20 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 5 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = −15 cm. Daiktas yra 30 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 5 cmf₂ = −15 cms = 20 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 19 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/2 = 19 s

Atsakymas

t = 19 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 38 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: s = 310 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2·5 = 10 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2·5² = 25 m

s₂ = 10·26 = 260 m

s₃ = 10²/(2·2) = 25 m

Visas atstumas

s = 25 + 260 + 25 = 310 m

Atsakymas

s = 310 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,459 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (8 − 3)·9,81/(8 + 3) = 4,459 m/s²

Atsakymas

a = 4,459 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 37,19 N

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 31,39)/16 = 3,35 m/s²

Vien galinė kaladėlė

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(3,35 + 1,962) = 37,19 N

Atsakymas

T = 37,19 N

Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 4,629 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 14·cos 60° = 7 m/s

t = x/v_x = 14/7 = 2 s

Aukštis tuo momentu

y = 12,12·2 − ½·9,81·2² = 4,629 m

Atsakymas

y = 4,629 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 68,71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 11,29 m/s, v_y = 31,01 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

7 = 31,01·t − 4,905·t²

t = (31,01 + √(31,01² − 2·9,81·7))/9,81 = 6,088 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,29·6,088 = 68,71 m

Atsakymas

x = 68,71 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 12,29 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 16,67²/(130·9,81) = 0,2178

θ = 12,29°

Atsakymas

θ = 12,29°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 12,04 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(50·9,81·0,2867/0,9697) = 12,04 m/s

Atsakymas

v_min = 12,04 m/s

(43,35 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: P = 31,4 kW

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.

Varomoji jėga

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 3° = 770,1 N

F = 770,1 + 800 = 1570 N

Galia

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1570·20 = 31402 W = 31,4 kW

Atsakymas

P = 31,4 kW

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,291 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(5 − 0,2·3) = 215,8 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,4) = 9,291 m/s

Atsakymas

v = 9,291 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 37333 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·12/2700 = 8,889 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·2000·12² = 144000 J

K_after = ½·2700·8,889² = 106667 J

Prarasta energija

ΔK = 144000 − 106667 = 37333 J

Atsakymas

ΔK = 37333 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 52,9 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1100·11 = 12100 kg·m/s

p_y = 1000·16 = 16000 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 1,322 → θ = 52,9°

Atsakymas

θ = 52,9°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,198 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Atsakymas

T = 2,198 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 11,33 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(170/1,5) = 10,65 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,1·10,65² = 11,33 m/s²

Atsakymas

a_max = 11,33 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: L = 0,5 m

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Bangos ilgis

λ = v/f = 180/360 = 0,5 m

Ilgis

L = nλ/2 = 2·0,5/2 = 0,5 m

Atsakymas

L = 0,5 m

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = −7,241 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/5 − 1/30 → d_i1 = 6 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 20 − 6 = 14 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/14 → d_i2 = −7,241 cm

Atsakymas

d_i2 = −7,241 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics