Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 31 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 5,5 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 31 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 10 s greitėja 1,5 m/s² pagreičiu, tada 25 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 25 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

19 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 19 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

3 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 30° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 22 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 12 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 35 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 12 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

390 m spindulio posūkis turi 5° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 390 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

240 m spindulio posūkis turi 8° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 240 mθ = 8°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,15 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 8 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,15 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 9 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 20 m/s greičiu važiuojantis 900 kg automobilis susiduria su į šiaurę 15 m/s greičiu važiuojančiu 900 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 900 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2,8 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

0,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 100 N/m, atitraukiamas 11 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 0,6 kgk = 100 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

440 Hz dažnio šaltinis juda 25 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du plyšiai, nutolę 0,5 mm, apšviečiami monochromatine šviesa. Ekrane, esančiame 1,2 m atstumu, šviesus ruožas, kurio numeris 4, yra 5,654 mm nuo centrinio ruožo. Raskite bangos ilgį λ.

d = 0,5 mmL = 1,2 my₄ = 5,654 mmm = 4

λ = nm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 11,27 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/5,5 = 11,27 s

Atsakymas

t = 11,27 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 62 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: s = 472,5 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1,5·10 = 15 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1,5·10² = 75 m

s₂ = 15·25 = 375 m

s₃ = 15²/(2·5) = 22,5 m

Visas atstumas

s = 75 + 375 + 22,5 = 472,5 m

Atsakymas

s = 472,5 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,368 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,2·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1813) = 2,368 m/s²

Atsakymas

a = 2,368 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 0,981 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 5,886)/4 = 0,981 m/s²

Atsakymas

a = 0,981 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 6,167 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19,05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Atsakymas

H = 6,167 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 35,86 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 12·sin 20° = 4,104 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 4,104²/(2·9,81) = 0,8586 m

Aukštis virš žemės

H = 35 + 0,8586 = 35,86 m

Atsakymas

H = 35,86 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 18,3 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(390·9,81·tan 5°) = 18,3 m/s

Atsakymas

v = 18,3 m/s

(65,86 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 9,702 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(240·9,81·0,04015/1,004) = 9,702 m/s

Atsakymas

v_min = 9,702 m/s

(34,93 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 1,087 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·500·0,08² = 1,6 J

Aukštis

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 1,6/1,472 = 1,087 m

Atsakymas

h = 1,087 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,836 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,25·3) = 36,79 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,75) = 3,836 m/s

Atsakymas

v = 3,836 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·9 = 1 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·9 = 10 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 12,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 900·20 = 18000 kg·m/s

p_y = 900·15 = 13500 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 22500/1800 = 12,5 m/s

Atsakymas

v′ = 12,5 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,357 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

Atsakymas

T = 3,357 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 1,42 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(100/0,6) = 12,91 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,11·12,91 = 1,42 m/s

Atsakymas

v_max = 1,42 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 410,1 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 410,1 Hz

Atsakymas

f′ = 410,1 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: λ = 589 nm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bangos ilgis

λ = y·d/(mL) = 0,005654·0,0005/(4·1,2) = 5,89 × 10⁻⁷ m = 589 nm

Atsakymas

λ = 589 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics