Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 240 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 800 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

11 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 11 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

3,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo 10 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 100 m spindulio posūkį įveiktų 50 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 100 mv = 50 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

190 m spindulio posūkis turi 8° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 190 mθ = 8°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 6 m nuokalne.

θ = 20°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,3). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 2 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 2 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

3 kg vežimėlis, judantis 12 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 3 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,25 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 19 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 17 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,25 kgv_in = 19 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

2,6 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 20 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 15 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 6 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 2,6 kgk = 20 N/mA = 15 cmx = 6 cm

v = m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 460 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 3 kgk = 460 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

400 Hz dažnio šaltinis, judantis 10 m/s greičiu, ir stebėtojas, judantis 15 m/s greičiu, artėja vienas prie kito. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

500 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 300 linijų milimetrui. Raskite 1 eilės maksimumo kampą θ₁.

N = 300 mm⁻¹λ = 500 nmm = 1

θ₁ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,778 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·800) = 2,778 m/s²

Atsakymas

a = 2,778 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 5,547 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−40 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 40 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,547 s

Atsakymas

t = 5,547 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,216 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Atsakymas

a = 3,216 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,834 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 3,434)/9,5 = 5,834 m/s²

Atsakymas

a = 5,834 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 18,77 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8,03 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·8,03/9,81 = 1,637 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 11,47·1,637 = 18,77 m

Atsakymas

x = 18,77 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 23,12 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 50° = 8,356 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 50° = 9,959 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 10 + 9,959·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,959 + √(99,17 + 196,2))/9,81 = 2,767 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 8,356·2,767 = 23,12 m

Atsakymas

x = 23,12 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 11,12 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 13,89²/(100·9,81) = 0,1966

θ = 11,12°

Atsakymas

θ = 11,12°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 23,52 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(190·9,81·0,2877/0,9694) = 23,52 m/s

Atsakymas

v_max = 23,52 m/s

(84,67 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,865 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 4,865 m/s

Atsakymas

v = 4,865 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 3,706 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 19,62·2 = 39,24 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·2 = 11,77 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 27,47 → v = √(2·27,47/4) = 3,706 m/s

Atsakymas

v = 3,706 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 4 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (3 − 1,5)/(3 + 1,5)·12 = 4 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1,5)·12 = 16 m/s

Atsakymas

v′₁ = 4 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 9 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,25·(17 + 19) = 9 N·s

Atsakymas

J = 9 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,3813 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(20/2,6) = 2,774 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 2,774·√(0,15² − 0,06²) = 0,3813 m/s

Atsakymas

v = 0,3813 m/s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7922 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 3·9,81/460 = 0,06398 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(460/3) = 12,38 rad/s

v_max = A·ω = 0,06398·12,38 = 0,7922 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7922 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 430 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 15)/(343 − 10)

f′ = 430 Hz

Atsakymas

f′ = 430 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₁ = 8,627 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 1·500 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,15

θ = 8,627°

Atsakymas

θ₁ = 8,627°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics