Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,2 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,2 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 12 m/s greičiu nuo stogo, esančio 35 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 15° kampą virš horizontalės, 110 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 25 kgF = 110 Nθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

5,5 kg kaladėlė ant 35° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 10 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 15 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 34 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 40 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 40 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 0,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 1500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,5 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 8 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,5 kgk = 1500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 5000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,55 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 19 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 14 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,55 kgv_in = 19 m/sv_out = 14 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,6 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 1,6 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,6 mT = 1,6 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,9 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, atitraukiamas 12 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2,9 kgk = 310 N/mA = 12 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Mažas šaltinis skleidžia garsą vienodai visomis kryptimis. Lygis 2 m atstumu nuo jo yra 70 dB. Raskite lygį β₂ 8 m atstumu, nepaisydami sugerties ir atspindžių.

β₁ = 70 dBr₁ = 2 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

589 nm bangos ilgio šviesa praeina pro 0,05 mm pločio vieną plyšį. Raskite centrinio šviesaus maksimumo plotį w ekrane, esančiame 2 m atstumu (tarp pirmųjų tamsių ruožų abiejose pusėse).

λ = 589 nma = 0,05 mmL = 2 m

w = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 119,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,2 = 33,33 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4,5) = 85,73 m

Iš viso

d = 33,33 + 85,73 = 119,1 m

Atsakymas

d = 119,1 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,161 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−35 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 35 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,161 s

Atsakymas

t = 4,161 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,082 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 110·sin 15° = 216,8 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 106,3 − 54,19

a = 52,06/25 = 2,082 m/s²

Atsakymas

a = 2,082 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 60,48 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 30,95 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,839 N

Sistemos pagreitis

a = (98,1 − 30,95 − 8,839)/15,5 = 3,762 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9,81 − 3,762) = 60,48 N

Atsakymas

T = 60,48 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 5,622 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27,58 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·27,58/9,81 = 5,622 s

Atsakymas

t = 5,622 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,298 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31,95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11,63 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 15 + 11,63·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,63 + √(135,2 + 294,3))/9,81 = 3,298 s

Atsakymas

t = 3,298 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 10,85 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·40) = 10,85 m/s

Atsakymas

v_max = 10,85 m/s (39,06 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 2,215 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Atsakymas

v_min = 2,215 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,9786 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1500·0,08² = 4,8 J

Aukštis

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

h = ½kx²/(mg) = 4,8/4,905 = 0,9786 m

Atsakymas

h = 0,9786 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 14,96 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(3 − 0,15·1) = 55,92 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 55,92 → x = √(2·55,92/5000) = 0,1496 m = 14,96 cm

Atsakymas

x = 14,96 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 6 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·10 = 6 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·10 = 16 m/s

Atsakymas

v′₁ = 6 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 18,15 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,55·(14 + 19) = 18,15 N·s

Atsakymas

J = 18,15 N·s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 24,67 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/1,6² = 24,67 m/s²

Atsakymas

g = 24,67 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 2,232 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(310/2,9) = 10,34 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·310·0,12² = 2,232 J

Atsakymas

E = 2,232 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: β₂ = 57,96 dB

Bangos: periodinė banga per vieną periodą nukeliauja vieną bangos ilgį, todėl v = fλ, kur T = 1/f. Ištemptoje stygoje v = √(T/μ), kur T yra įtempimas, o μ = m/L masė metrui. Garsas ore sklinda maždaug 343 m/s greičiu 20 °C temperatūroje, šviesa vakuume – c = 3,00 × 10⁸ m/s. Garsumas matuojamas logaritminiu mastu: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, kur I₀ = 10⁻¹² W/m², todėl 10 kartų didesnis intensyvumas prideda 10 dB. Taškinis šaltinis savo galią P skleidžia sfera: I = P/(4πr²).

Intensyvumų santykis

I₂/I₁ = (2/8)² = 0,0625

Naujas lygis

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,0625) = 57,96 dB

Atsakymas

β₂ = 57,96 dB

Kiekvienas atstumo padvigubinimas sumažina lygį maždaug 6 dB.

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: w = 47,12 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Pirmasis tamsus ruožas

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·2/(0,05 × 10⁻³) = 23,56 mm

Centrinio maksimumo plotis

w = 2y₁ = 47,12 mm

Atsakymas

w = 47,12 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics