Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 90 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 6 s greitėja 2 m/s² pagreičiu, tada 22 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 3,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 6 st₂ = 22 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

17 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 17 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 16 m/s greičiu 35° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 5 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 16 m/sθ = 35°x = 5 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 14 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 45 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 14 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 240 m spindulio posūkį įveiktų 80 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.

r = 240 mv = 80 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,2 kg rutuliukas ant lengvo 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 11 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 0,2 kgr = 1,3 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 10 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 4 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 4 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 9 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1300 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 15,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1600 kgd = 15,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,5 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 250 N/m, atitraukiamas 4 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 2 kgk = 250 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 50 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 12 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i. Naudokite ženklų susitarimą 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 sklaidomajam lęšiui, d_i < 0 menamam vaizdui).

d_o = 50 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

600 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,3 mm. Ekranas yra 2,5 m atstumu. Raskite atstumą y₁ nuo centrinio šviesaus ruožo iki šviesaus ruožo, kurio numeris 1.

λ = 600 nmd = 0,3 mmL = 2,5 mm = 1

y₁ = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 69,44 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Atsakymas

s = 69,44 m

2.Kinematika

Atsakymas: s = 320,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2·6 = 12 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2·6² = 36 m

s₂ = 12·22 = 264 m

s₃ = 12²/(2·3,5) = 20,57 m

Visas atstumas

s = 36 + 264 + 20,57 = 320,6 m

Atsakymas

s = 320,6 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,812 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Atsakymas

a = 2,812 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 25,69 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 0)/10,5 = 5,139 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·5,139 + 0 = 25,69 N

Atsakymas

T = 25,69 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 2,787 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 16·cos 35° = 13,11 m/s

t = x/v_x = 5/13,11 = 0,3815 s

Aukštis tuo momentu

y = 9,177·0,3815 − ½·9,81·0,3815² = 2,787 m

Atsakymas

y = 2,787 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 32,85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 14·cos 20° = 13,16 m/s

v_y0 = 14·sin 20° = 4,788 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(4,788² + 2·9,81·45) = 30,1 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(13,16² + 30,1²) = 32,85 m/s

Atsakymas

v = 32,85 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: θ = 11,85 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vienetai

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Posvyrio kampas

tan θ = v²/(r·g) = 22,22²/(240·9,81) = 0,2097

θ = 11,85°

Atsakymas

θ = 11,85°

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 8,805 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,3 = 69,99 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·69,99/1,3 − 0,2·9,81 = 8,805 N

Atsakymas

T_top = 8,805 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 6,027 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,15·4,018 = 0,6027 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,6027·10 = 6,027 J

Atsakymas

W_f = 6,027 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 34,08 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·3) = 145,2 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 145,2 → x = √(2·145,2/2500) = 0,3408 m = 34,08 cm

Atsakymas

x = 34,08 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 10 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·9 = 1 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·9 = 10 m/s

Atsakymas

v′₂ = 10 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 34,79 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·15,5) = 15,6 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·15,6/1300 = 34,79 m/s

Atsakymas

v₁ = 34,79 m/s

(125,3 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,457 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Atsakymas

T = 2,457 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,4472 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(250/2) = 11,18 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,04·11,18 = 0,4472 m/s

Atsakymas

v_max = 0,4472 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = 15,79 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/50

d_i = 15,79 cm

Spindulių diagrama

tikrasis, kitoje lęšio pusėje

Atsakymas

d_i = 15,79 cm

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: y₁ = 5 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2,5/(0,3 × 10⁻³) = 5 mm

Ruožo numeris 1

y₁ = 1·5 = 5 mm

Atsakymas

y₁ = 5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics