Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,6 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 72 km/ht_r = 0,6 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 4,7 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 4,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8,5 kg ir 3,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 3,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

4 kg kaladėlė ant 30° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 6 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 25° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 12 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 26 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 26 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

250 m spindulio posūkis turi 15° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 250 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

140 m spindulio posūkis turi 18° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 140 mθ = 18°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

1 kg kūnas nuslysta 6 m nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 1 kgθ = 20°μ = 0,2d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

15° šlaito apačioje esanti 3000 N/m standumo spyruoklė suspaudžiama 10 cm prie 0,5 kg kaladėlės ir atleidžiama. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir šlaito koeficientas 0,15. Kokį atstumą d aukštyn šlaitu nuo paleidimo taško kaladėlė nuslenka, kol sustoja? (Nepaisykite trumpo atstumo, kuriame stumia spyruoklė, t. y. trintį ir sunkio jėgą imkite visame atstume d.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

8 kg sviedinys, horizontaliai judantis 40 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 1 kg skeveldra toliau juda pirmyn 61 m/s greičiu. Raskite 7 kg skeveldros greitį v′₂ (teigiamas pradine kryptimi).

M = 8 kgu = 40 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 17 m/s greičiu važiuojantis 900 kg automobilis susiduria su į šiaurę 16 m/s greičiu važiuojančiu 2000 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų judėjimo kryptį θ iškart po susidūrimo, matuojant nuo rytų krypties į šiaurę.

m₁ = 900 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,6 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 370 N/m, atitraukiamas 4 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3 kgk = 370 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

500 Hz dažnio šaltinis juda 34 m/s greičiu nuo nejudančio stebėtojo. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite stebėtojo girdimą dažnį f′.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/s

f′ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 40 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 5 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 5 cm. Daiktas yra 20 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 5 cmf₂ = 5 cms = 40 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 42,77 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 20·0,6 = 12 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·6,5) = 30,77 m

Iš viso

d = 12 + 30,77 = 42,77 m

Atsakymas

d = 42,77 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 95,85 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(4,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1612))/(2·4,905) = 4,421 s

Gylis

d = ½·9,81·4,421² = 95,85 m

Atsakymas

d = 95,85 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 48,64 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (8,5 − 3,5)·9,81/(8,5 + 3,5) = 4,088 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 3,5·(9,81 + 4,088) = 48,64 N

Atsakymas

T = 48,64 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,584 m/s²

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 19,62 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,398 N

Sistemos pagreitis

a = (58,86 − 19,62 − 3,398)/10 = 3,584 m/s²

Atsakymas

a = 3,584 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 1,034 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 25° = 10,88 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 25° = 5,071 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·5,071/9,81 = 1,034 s

Atsakymas

t = 1,034 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 58,61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 26·sin 30° = 13 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 8,614 = 58,61 m

Atsakymas

H = 58,61 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 25,63 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(250·9,81·tan 15°) = 25,63 m/s

Atsakymas

v = 25,63 m/s

(92,29 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 30,84 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(140·9,81·0,5943/0,8584) = 30,84 m/s

Atsakymas

v_max = 30,84 m/s

(111 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 11,06 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 9,81·0,9397 = 9,218 N

F = μN = 0,2·9,218 = 1,844 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,844·6 = 11,06 J

Atsakymas

W_f = 11,06 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: d = 7,575 m

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Energijos balansas nuokalne

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(4,905·(0,2588 + 0,15·0,9659)) = 7,575 m

Atsakymas

d = 7,575 m

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 37 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Judesio kiekis prieš

p = M·u = 8·40 = 320 kg·m/s

Judesio kiekis po

320 = 1·61 + 7·v′₂

v′₂ = (320 − 61)/7 = 37 m/s

Atsakymas

v′₂ = 37 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: θ = 64,45 °

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 900·17 = 15300 kg·m/s

p_y = 2000·16 = 32000 kg·m/s

Kryptis

tan θ = p_y/p_x = 2,092 → θ = 64,45°

Atsakymas

θ = 64,45°

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,6361 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Atsakymas

L = 0,6361 m

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 4,933 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(370/3) = 11,11 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,04·11,11² = 4,933 m/s²

Atsakymas

a_max = 4,933 m/s²

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f′ = 454,9 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Doplerio formulė

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 0)/(343 + 34)

f′ = 454,9 Hz

Atsakymas

f′ = 454,9 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 5,882 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/5 − 1/20 → d_i1 = 6,667 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 40 − 6,667 = 33,33 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/5 − 1/33,33 → d_i2 = 5,882 cm

Atsakymas

d_i2 = 5,882 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics