Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 50 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 2,9 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 2,9 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 3 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 1,5 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 3 m/sd = 1,5 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

3,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 35° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 23 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

120 m spindulio posūkis turi 10° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 120 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

140 m spindulio posūkis turi 18° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 140 mθ = 18°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,4. Raskite jo greitį v, nuslydus 15 m nuokalne.

θ = 40°μ = 0,4d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 6,8 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 1,5 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 5 kgh = 6,8 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

4,5 kg vežimėlis, judantis 5 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 3 kg tašelį, kabantį ant lengvų 2 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 20° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 3 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,9 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, atitraukiamas 19 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 2,1 kgk = 230 N/mA = 19 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Daiktas yra 50 cm atstumu prieš ploną lęšį (glaudžiamasis), kurio židinio nuotolis 15 cm. Raskite didinimą m (neigiamas apverstam vaizdui).

d_o = 50 cmf = 15 cm

m =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

450 nm bangos ilgio šviesa statmenai krinta į gardelę, turinčią 400 linijų milimetrui. Raskite 2 eilės maksimumo kampą θ₂.

N = 400 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2

θ₂ = °

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 12,86 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·7,5) = 12,86 m

Atsakymas

s = 12,86 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 38,15 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(2,9 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 994,7 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·994,7))/(2·4,905) = 2,789 s

Gylis

d = ½·9,81·2,789² = 38,15 m

Atsakymas

d = 38,15 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,3058

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·1,5) = 3 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9,81 = 0,3058

Atsakymas

μ = 0,3058

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 15,74 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 3,434)/6 = 3,515 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·3,515 + 3,434 = 15,74 N

Atsakymas

T = 15,74 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 86,21 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17,21 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·17,21/9,81 = 3,508 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 24,57·3,508 = 86,21 m

Atsakymas

x = 86,21 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 87,77 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 35° = 18,84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 35° = 13,19 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 13,19·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,19 + √(174 + 882,9))/9,81 = 4,659 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 18,84·4,659 = 87,77 m

Atsakymas

x = 87,77 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 14,41 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(120·9,81·tan 10°) = 14,41 m/s

Atsakymas

v = 14,41 m/s

(51,87 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 33,83 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(140·9,81·0,6894/0,8274) = 33,83 m/s

Atsakymas

v_max = 33,83 m/s

(121,8 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,95 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,6428 − 0,4·0,766)) = 9,95 m/s

Atsakymas

v = 9,95 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 199,5 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,8 − 3) = 74,56 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·74,56/1,5 − 49,05 = 199,5 N

Atsakymas

N = 199,5 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 1 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·5 = 1 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·5 = 6 m/s

Atsakymas

v′₁ = 1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 232,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0,1206 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1206) = 1,538 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 3,02·1,538/0,02 = 232,3 m/s

Atsakymas

v = 232,3 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,903 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,9/9,81) = 1,903 s

Atsakymas

T = 1,903 s

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 4,152 J

Kampinis dažnis

ω = √(230/2,1) = 10,47 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·230·0,19² = 4,152 J

Atsakymas

E = 4,152 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: m = −0,4286

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Plonojo lęšio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/50

d_i = 21,43 cm

Didinimas

m = −d_i/d_o = −21,43/50 = −0,4286

Atsakymas

m = −0,4286

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: θ₂ = 21,1 °

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linijų tarpas

d = 1/400 mm = 2,5 × 10⁻⁶ m

Gardelės lygtis

sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(2,5 × 10⁻⁶) = 0,36

θ = 21,1°

Atsakymas

θ₂ = 21,1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics