Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1,3 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,3 sa = −7 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 8 s greitėja 1 m/s² pagreičiu, tada 16 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą kelionės trukmę t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 8 st₂ = 16 sa₃ = −2,5 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 3,5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 2,1 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 3,5 m/sd = 2,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 25° kampu virš horizontalės ir nukrinta 90 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 25°R = 90 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 34 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 50 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 34 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 4 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią kampinį greitį ω rad/s.

r = 4 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2 kg rutuliukas ant lengvo 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 2 kgr = 0,7 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 2000 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 3 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 10 kgh = 2,5 mL = 2 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1400 kg automobilis, judantis 23 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1300 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek procentų ΔK/K pradinės kinetinės energijos prarandama?

m₁ = 1400 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1500 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 19,5 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1500 kgm₂ = 1800 kgd = 19,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 0,7 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 2,73 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 0,7 mT = 2,73 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,6 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 140 N/m, atitraukiamas 6 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 1,6 kgk = 140 N/mA = 6 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Skaidraus bloko viduje šviesa visiškai atsispindi ties riba su terpe „krištolinis stiklas“ (n = 1,50) esant bet kuriam kritimo kampui, didesniam nei 42°. Raskite bloko lūžio rodiklį n₁.

θ_c = 42°n₂ = 1,50

n₁ =

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Du ploni lęšiai turi bendrą ašį ir yra nutolę 10 cm: 1 lęšis, kurio f₁ = 10 cm, ir 2 lęšis, kurio f₂ = 15 cm. Daiktas yra 18 cm atstumu prieš 1 lęšį. Raskite galutinio vaizdo padėtį d_i2, matuojamą nuo 2 lęšio (teigiama už 2 lęšio, tikrasis vaizdas teigiamas).

f₁ = 10 cmf₂ = 15 cms = 10 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 103,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 30·1,3 = 39 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64,29 m

Iš viso

d = 39 + 64,29 = 103,3 m

Atsakymas

d = 103,3 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 27,2 s

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1·8 = 8 m/s

Stabdymo trukmė

t₃ = v/a₃ = 8/2,5 = 3,2 s

Bendra trukmė

t = 8 + 16 + 3,2 = 27,2 s

Atsakymas

t = 27,2 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,2973

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 3,5²/(2·2,1) = 2,917 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,917/9,81 = 0,2973

Atsakymas

μ = 0,2973

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 13,63 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 7,848)/9,5 = 0,7228 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·0,7228 + 7,848 = 13,63 N

Atsakymas

T = 13,63 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 33,95 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·90/sin 50°) = 33,95 m/s

Atsakymas

v₀ = 33,95 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 94,19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 34·sin 60° = 29,44 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 29,44²/(2·9,81) = 44,19 m

Aukštis virš žemės

H = 50 + 44,19 = 94,19 m

Atsakymas

H = 94,19 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: ω = 2,022 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·4)) = 2,022 rad/s

Atsakymas

ω = 2,022 rad/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 187,6 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 10² − 4·9,81·0,7 = 72,53 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·72,53/0,7 − 2·9,81 = 187,6 N

Atsakymas

T_top = 187,6 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,9174 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·2000·0,03² = 0,9 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/0,981 = 0,9174 m

Atsakymas

h = 0,9174 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 6,106 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(2,5 − 0,3·2) = 186,4 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,9) = 6,106 m/s

Atsakymas

v = 6,106 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK/K = 48,15 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·23/2700 = 11,93 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·1400·23² = 370300 J

K_after = ½·2700·11,93² = 192007 J

Prarasta dalis

ΔK/K = 178293/370300 = 48,15 %

Atsakymas

ΔK/K = 48,15 %

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 37,27 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·19,5) = 16,94 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·16,94/1500 = 37,27 m/s

Atsakymas

v₁ = 37,27 m/s

(134,2 km/h)

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 3,708 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,7/2,73² = 3,708 m/s²

Atsakymas

g = 3,708 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 0,252 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(140/1,6) = 9,354 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·140·0,06² = 0,252 J

Atsakymas

E = 0,252 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: n₁ = 2,242

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Bloko lūžio rodiklis

n₁ = n₂/sin θc = 1,50/0,6691 = 2,242

Atsakymas

n₁ = 2,242

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i2 = 6,818 cm

1 lęšio vaizdas

1/d_i1 = 1/10 − 1/18 → d_i1 = 22,5 cm

2 lęšio daiktas

d_o2 = 10 − 22,5 = −12,5 cm

Galutinis vaizdas

1/d_i2 = 1/15 − 1/(−12,5) → d_i2 = 6,818 cm

Atsakymas

d_i2 = 6,818 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics