Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 180 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1100 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 13 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 25° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 40 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 35° rampa 10 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 10 m/sθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 34 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 78 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 34 m/sθ = 55°x = 78 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 22 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 25 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 22 m/sθ = 65°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

210 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 210 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Raskite jo greitį v, nuslydus 9 m nuokalne.

θ = 45°μ = 0,25d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 3,5 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 1 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 5 kgh = 3,5 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1,5 kg vežimėlis, judantis 8 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

8 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,9 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 15° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 8 gM = 5 kgL = 1,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,3 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 180 N/m, atitraukiamas 6 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,95 s (su ženklu).

m = 3,3 kgk = 180 N/mA = 6 cmt = 0,95 s

x = cm

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,1 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 410 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 2,1 kgk = 410 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Abiejuose galuose atviras vamzdis yra 0,6 m ilgio. Garso greitis yra 343 m/s. Raskite jo pagrindinės (pirmosios) harmonikos dažnį f₁.

v = 343 m/sn = 1L = 0,6 m

f₁ = Hz

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

650 nm bangos ilgio šviesa krinta į du plyšius, nutolusius 0,25 mm. Ekranas yra 3 m atstumu. Raskite tarpą Δy tarp gretimų šviesių ruožų.

λ = 650 nmd = 0,25 mmL = 3 m

Δy = mm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 1,136 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 180/3,6 = 50 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 50²/(2·1100) = 1,136 m/s²

Atsakymas

a = 1,136 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,943 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−25 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 25 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,943 s

Atsakymas

t = 3,943 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 254,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 165,8 + 88,91 = 254,7 N

Atsakymas

F = 254,7 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 6,548 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 35° + 0,25·cos 35°) = 7,636 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,636) = 6,548 m

Atsakymas

d = 6,548 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 32,93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 34·cos 55° = 19,5 m/s

t = x/v_x = 78/19,5 = 4 s

Aukštis tuo momentu

y = 27,85·4 − ½·9,81·4² = 32,93 m

Atsakymas

y = 32,93 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 45,26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 22·sin 65° = 19,94 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 19,94²/(2·9,81) = 20,26 m

Aukštis virš žemės

H = 25 + 20,26 = 45,26 m

Atsakymas

H = 45,26 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 30,99 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(210·9,81·tan 25°) = 30,99 m/s

Atsakymas

v = 30,99 m/s

(111,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,571 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Atsakymas

v_min = 3,571 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,677 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 9,677 m/s

Atsakymas

v = 9,677 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 98,1 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3,5 − 2) = 29,43 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·29,43/1 − 49,05 = 98,1 N

Atsakymas

N = 98,1 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 4,364 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1,5 − 4)/(1,5 + 4)·8 = −3,636 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 4)·8 = 4,364 m/s

Atsakymas

v′₂ = 4,364 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 705,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 15°) = 0,06474 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,06474) = 1,127 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 5,008·1,127/0,008 = 705,5 m/s

Atsakymas

v = 705,5 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = 4,459 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(180/3,3) = 7,385 rad/s

ω·t = 7,385·0,95 = 7,016 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(7,016) = 4,459 cm

Atsakymas

x = 4,459 cm

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7021 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 2,1·9,81/410 = 0,05025 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(410/2,1) = 13,97 rad/s

v_max = A·ω = 0,05025·13,97 = 0,7021 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7021 m/s

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: f₁ = 285,8 Hz

Stovinčiosios bangos ir Doplerio efektas: abiejuose galuose pritvirtintoje stygoje arba abiejuose galuose atvirame vamzdyje telpa sveikas skaičius pusbangių: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Viename gale uždarytame vamzdyje uždarame gale yra mazgas, o atvirame – pūpsnis: L = nλ/4, tik nelyginiams n, f_n = n·v/(4L). Kai šaltinis ar stebėtojas juda išilgai tarp jų einančios linijos, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): judėjimui vienas kito link naudokite viršutinius ženklus. Dvi beveik vienodo dažnio bangos duoda mūšos dažnį |f₁ − f₂|.

Šios modos bangos ilgis

λ = 2L/n = 2·0,6/1 = 1,2 m

Dažnis

f = v/λ = 343/1,2 = 285,8 Hz

Atsakymas

f₁ = 285,8 Hz

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: Δy = 7,8 mm

Interferencija ir difrakcija: šviesa iš dviejų plyšių, nutolusių per atstumą d, pasiekia ekrano tašką su kelių skirtumu d·sin θ. Šviesūs ruožai atsiranda ten, kur d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Ekranui esant atstumu L ≫ d, m-tasis šviesus ruožas yra ties y = mλL/d, o ruožų tarpas Δy = λL/d. Gardelė su N linijų milimetrui turi d = 1/N ir aštrius maksimumus ties d·sin θ = mλ; kadangi sin θ ≤ 1, aukščiausia eilė yra didžiausias sveikasis m ≤ d/λ. Vieno a pločio plyšio tamsūs ruožai yra ties a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Ruožų tarpas

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·3/(0,25 × 10⁻³) = 7,8 mm

Atsakymas

Δy = 7,8 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics