Fizika 1: mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Bangos, garsas ir optika

Bangos greitis: v = fλ, T = 1/f
Styga: v = √(T/μ), μ = m/L
Garso lygis: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Taškinis šaltinis: I = P/(4πr²)
Stovinčiosios bangos: styga arba atviras vamzdis f_n = n·v/(2L); uždaras vamzdis f_n = n·v/(4L), n nelyginis
Doplerio efektas: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Lūžio rodiklis: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelio dėsnis: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ribinis kampas: sin θ_c = n₂/n₁
Šviesolaidis: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lęšiai ir veidrodžiai: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Dvigubas plyšys: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gardelė: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Vienas plyšys: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodas

Nustatykite uždavinio tipą: bangos greitis, garso lygis, stovinčioji banga, Doplerio efektas, lūžis, lęšis ar veidrodis, ar interferencija.
Pirmiausia užrašykite sąryšį: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) arba n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Konvertuokite vienetus: nm, mm ir cm į m, ir patikrinkite, ar kampai matuojami nuo normalės.
Patikrinkite ženklus ir tikėtinumą: menamas vaizdas turi dᵢ < 0, artėjantis šaltinis skamba aukščiau, uždaras vamzdis turi tik nelygines harmonikas.

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Pastoviu 22 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 4 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.

v_car = 22 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 3,7 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 3,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

25 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 35° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 25 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 3,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 12 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 20 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 1,9 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.

r = 1,9 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,8 kg rutuliukas ant 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,8 kgr = 1,2 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg kūnas nuslysta 12 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,1d = 12 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 1,5 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 4 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

15 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 12 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 15 gM = 5 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

5 g kulka horizontaliai įšaunama į 1 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,6 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 40° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 5 gM = 1 kgL = 0,6 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1,8 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 2,83 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.

L = 1,8 mT = 2,83 s

g = m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 80 N/m, atitraukiamas 19 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite visą svyravimų energiją E.

m = 3 kgk = 80 N/mA = 19 cm

E = J

15.Bangos, garsas ir optikaVidutinis

Mažas šaltinis skleidžia garsą vienodai visomis kryptimis. Lygis 1 m atstumu nuo jo yra 75 dB. Raskite lygį β₂ 2 m atstumu, nepaisydami sugerties ir atspindžių.

β₁ = 75 dBr₁ = 1 mr₂ = 2 m

β₂ = dB

16.Bangos, garsas ir optikaSunkus

Daiktas yra 40 cm atstumu prieš veidrodį (iškilas), kurio kreivumo spindulys 50 cm. Raskite vaizdo atstumą d_i, teigiamą vaizdui prieš veidrodį (tikrasis) ir neigiamą vaizdui už jo (menamasis).

d_o = 40 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 11 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienodi atstumai

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/4 = 11 s

Atsakymas

t = 11 s

Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 44 m/s.

2.Kinematika

Atsakymas: d = 60,86 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(3,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1269))/(2·4,905) = 3,523 s

Gylis

d = ½·9,81·3,523² = 60,86 m

Atsakymas

d = 60,86 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 170,8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 140,7 + 30,13 = 170,8 N

Atsakymas

F = 170,8 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 6,867 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/5 = 6,867 m/s²

Atsakymas

a = 6,867 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 3,032 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9,193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7,713 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 7,713²/(2·9,81) = 3,032 m

Atsakymas

H = 3,032 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,071 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8,551 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 20 + 8,551·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,551 + √(73,11 + 392,4))/9,81 = 3,071 s

Atsakymas

t = 3,071 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: n = 30,69 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Žmogų veikiančios jėgos

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Kampinis greitis

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·1,9)) = 3,213 rad/s

Sukimosi dažnis

n = ω·60/(2π) = 30,69 rpm

Atsakymas

n = 30,69 rpm

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 63,03 N

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·5,5²/1,2 = 17,66 + 45,38 = 63,03 N

Atsakymas

T = 63,03 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 20,39 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,1·16,99 = 1,699 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 1,699·12 = 20,39 J

Atsakymas

W_f = 20,39 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 9,679 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,15·1,5) = 187,4 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,775) = 9,679 m/s

Atsakymas

v = 9,679 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 513 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 5)·1,534/0,015 = 513 m/s

Atsakymas

v = 513 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 333,6 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 40°) = 0,1404 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,1404) = 1,66 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 1,005·1,66/0,005 = 333,6 m/s

Atsakymas

v = 333,6 m/s

13.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: g = 8,873 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Išreiškite g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,8/2,83² = 8,873 m/s²

Atsakymas

g = 8,873 m/s²

14.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: E = 1,444 J

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(80/3) = 5,164 rad/s

Energija

E = ½·k·A² = ½·80·0,19² = 1,444 J

Atsakymas

E = 1,444 J

15.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: β₂ = 68,98 dB

Bangos: periodinė banga per vieną periodą nukeliauja vieną bangos ilgį, todėl v = fλ, kur T = 1/f. Ištemptoje stygoje v = √(T/μ), kur T yra įtempimas, o μ = m/L masė metrui. Garsas ore sklinda maždaug 343 m/s greičiu 20 °C temperatūroje, šviesa vakuume – c = 3,00 × 10⁸ m/s. Garsumas matuojamas logaritminiu mastu: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, kur I₀ = 10⁻¹² W/m², todėl 10 kartų didesnis intensyvumas prideda 10 dB. Taškinis šaltinis savo galią P skleidžia sfera: I = P/(4πr²).

Intensyvumų santykis

I₂/I₁ = (1/2)² = 0,25

Naujas lygis

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,25) = 68,98 dB

Atsakymas

β₂ = 68,98 dB

Kiekvienas atstumo padvigubinimas sumažina lygį maždaug 6 dB.

16.Bangos, garsas ir optika

Atsakymas: d_i = −15,38 cm

Geometrinė optika: ties riba n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelio dėsnis), kampai matuojami nuo normalės, o n = c/v. Patekęs į lėtesnę terpę spindulys lūžta normalės link. Iš tankesnės terpės (n₁ > n₂) už ribinio kampo θ_c = arcsin(n₂/n₁) visa šviesa atsispindi: visiškasis vidaus atspindys. Plonieji lęšiai ir sferiniai veidrodžiai paklūsta lygčiai 1/f = 1/d_o + 1/d_i su didinimu m = −d_i/d_o. Ženklų susitarimas: f > 0 glaudžiamajam lęšiui ir įgaubtam veidrodžiui (f = R/2), f < 0 sklaidomajam lęšiui ir iškiliam veidrodžiui; d_i > 0 tikrajam vaizdui, d_i < 0 menamajam, o m < 0 apverstam vaizdui.

Židinio nuotolis

f = −R/2 = −25 cm

Veidrodžio lygtis

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/40

d_i = −15,38 cm

Spindulių diagrama

menamas vaizdas už veidrodžio

Atsakymas

d_i = −15,38 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics