Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
- Kulono dėsnis
- F = k·|q1q2|/r²
- Taškinio krūvio laukas
- E = k·|q|/r²
- Konstanta
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Jėga, veikianti krūvį
- F = q·E
Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
- Nuosekliai sujungti rezistoriai
- Req = R1 + R2 + …
- Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Du lygiagrečiai
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Omo dėsnis
- V = I·R
- Galia
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodas
- Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
- Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
- Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.
RC ir RL pereinamieji procesai
- Laiko konstanta
- τ = RC | τ = L/R
- Atsakas
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensatorius esant nuolatinei srovei
- atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
- Ritė esant nuolatinei srovei
- trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
- Nusistovėjęs režimas
- t ≈ 5τ
Metodas
- Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
- Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
- Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
- Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetiniai laukai ir indukcija
- Ilgas tiesus laidas
- B = μ0I/(2πr)
- Plokščios ritės centras
- B = μ0NI/(2R)
- Ilgas solenoidas
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstanta
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Jėga, veikianti laidą
- F = BIL·sin θ
- Jėga, veikianti krūvį
- F = |q|vB·sin θ
- Judėjimas apskritimu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Lygiagretūs laidai
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Srautas
- Φ = BA·cos θ
- Faradėjaus dėsnis
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Judantis strypas
- ε = BLv
- Generatorius
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktyvumas
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Abipusis induktyvumas
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Greičio selektorius ir spektrometras
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodas
- Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
- Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
- Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
- Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.
Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
- Pilnutinės varžos
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kampinis dažnis
- ω = 2πf
- Modulis ir kampas
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Omo dėsnis fazoriams
- V = I·Z
Metodas
- Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
- Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
- Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
- Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.
2Uždaviniai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
Krūvis +10 µC ir krūvis −10 µC yra 10 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra tiesėje tarp jų, 6 cm atstumu nuo pirmojo krūvio. Raskite elektrinio lauko stiprio modulį E taške P.
q1 = +10 µCq2 = −10 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
+8 µC ir +8 µC krūviai yra 6 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 6 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +8 µCq2 = +8 µCd = 6 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 ΩR5 = 30 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
Šaltinis Vₛ per R₁ krauna kondensatorių, o R₂ prijungtas lygiagrečiai su C. Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis užsidaro momentu t = 0. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 30 ms.
Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 3,3 kΩC = 10 µFt = 30 ms
vC = V
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 24 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 100 ms.
Vs = 12 VR = 3,3 kΩC = 33 µFvC(0) = 24 Vt = 100 ms
vC = V
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
20 vijų ritės plotas yra 25 cm². Ritė yra tolygiame 0,4 T lauke, statmenam jos plokštumai, ir laukas išjungiamas per 20 ms. Raskite vidutinę indukuotą elektrovarą ε.
N = 20A = 25 cm²B = 0,4 TΔt = 20 ms
ε = V
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
Ilgas oro šerdies solenoidas turi 100 vijų, 30 cm ilgį ir 5 cm skersmenį. Raskite jo magnetiniame lauke sukauptą energiją W, kai juo teka 0,5 A srovė.
N = 100l = 30 cm⌀ = 5 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 50 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
Rezistorius R1 nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R2 ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 230 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
I = A
3Tirpalai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: E = 8,116 × 10⁷ N/C
Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.
Kiekvieno krūvio laukas
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,06² = 2,497 × 10⁷ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,04² = 5,619 × 10⁷ N/C
Kryptys ir suma
Pirmasis laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio, antrasis – į neigiamą: abu nukreipti ta pačia kryptimi.
E = |2,497 × 10⁷ + 5,619 × 10⁷| = 8,116 × 10⁷ N/C
Atsakymas
E = 8,116 × 10⁷ N/C
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: E = 2,859 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Vieno krūvio atstumas ir laukas
r = √(3² + 6²) = 6,708 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,06708² = 1,598 × 10⁷ N/C
Dedamosios
Dedamosios išilgai krūvius jungiančios tiesės panaikina viena kitą.
E = 2·E1·(h/r) = 2·1,598 × 10⁷·0,8944 = 2,859 × 10⁷ N/C
Atsakymas
E = 2,859 × 10⁷ N/C
Laukas nukreiptas išilgai statmens, tolyn nuo krūvių.
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 0,8571 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R3 + R4 = 8 + 12 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Req = R1 + 10 = 4 + 10 = 14 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 24/14 = 1,714 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,714·4 = 17,14 V
IR2 = VA/R2 = 17,14/20 = 0,8571 A
Atsakymas
IR2 = 0,8571 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 1,901 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R5 + R6 = 30 + 5 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 10,5 Ω
R3 + 10,5 = 25,5 Ω
R2 ∥ 25,5 = 3,458 Ω
Req = R1 + 3,458 = 2 + 3,458 = 5,458 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 12/5,458 = 2,199 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 2,199·2 = 7,602 V
IR2 = VA/R2 = 7,602/4 = 1,901 A
Atsakymas
IR2 = 1,901 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: vC = 5,222 V
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Kondensatoriaus matomas Tevenino ekvivalentas
Šaltinį trumpai sujunkite, kad rastumėte Rth; kondensatorių atjunkite, kad rastumėte įtampą, iki kurios jis nusistovės.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·3,3/(10 + 3,3) = 2,481 kΩ
vC(∞) = 30·3,3/(10 + 3,3) = 7,444 V
Laiko konstanta
τ = Rth·C = 2,481·10 = 24,81 ms
Įkrovimo kreivė
vC(t) = 7,444·(1 − e−30/24,81) = 5,222 V
Atsakymas
vC = 5,222 V
6.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: vC = 16,79 V
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta
Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.
vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms
vC(t) = 12 + (24 − 12)·e−t/τ
Įtampa duotuoju momentu
vC(100) = 12 + (12)·e−100/108,9 = 16,79 V
Atsakymas
vC = 16,79 V
7.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: ε = 1 V
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Srauto pokytis vienai vijai
ΔΦ = 0,4·0,0025 = 0,001 Wb
Vidutinė elektrovara
ε = NΔΦ/Δt = 20·0,001/0,02 = 1 V
Atsakymas
ε = 1 V
8.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: W = 10,28 µJ
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Savaiminės indukcijos induktyvumas
L = μ₀N²A/l = 82,25 µH
Sukaupta energija
W = ½LI² = ½·8,225 × 10⁻⁵·0,5² = 1,028 × 10⁻⁵ J = 10,28 µJ
Atsakymas
W = 10,28 µJ
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: I = 0,2302 A
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyviosios varžos
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Pilnutinė varža
Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (215,2)²) = 217,2 Ω
Srovė
Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.
I = V/|Z| = 50/217,2 = 0,2302 A
Atsakymas
I = 0,2302 A
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: I = 4,913 A
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyvioji varža
XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω
Lygiagretus junginys
Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Zp išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 25,6 − j10,62 Ω
Bendra pilnutinė varža
Z = 20 + 25,6 − j10,62 = 45,6 − j10,62 Ω
|Z| = √(45,6² + 10,62²) = 46,82 Ω
Srovė
I = V/|Z| = 230/46,82 = 4,913 A
Atsakymas
I = 4,913 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism