Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis
F = k·|q1q2|/r²
Taškinio krūvio laukas
E = k·|q|/r²
Konstanta
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį
F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai
Req = R1 + R2 + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Du lygiagrečiai
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Omo dėsnis
V = I·R
Galia
P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

  1. Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
  2. Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
  4. Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta
τ = RC | τ = L/R
Atsakas
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei
atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei
trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas
t ≈ 5τ

Metodas

  1. Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
  2. Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
  3. Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
  4. Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas
B = μ0I/(2πr)
Plokščios ritės centras
B = μ0NI/(2R)
Ilgas solenoidas
B = μ0nI, n = N/L
Konstanta
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą
F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį
F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Srautas
Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis
ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas
ε = BLv
Generatorius
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktyvumas
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Greičio selektorius ir spektrometras
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

  1. Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
  2. Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
  3. Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
  4. Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
++2 µC++4 µCE = 050 cm

+2 µC ir +4 µC krūviai yra 50 cm atstumu vienas nuo kito. Kokiu atstumu x nuo +2 µC krūvio, tiesėje tarp jų, elektrinio lauko stipris lygus nuliui?

q1 = +2 µCq2 = +4 µCd = 50 cm
x = cm
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
3 cm10 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +10 µC

Trys teigiami taškiniai krūviai yra stačiojo trikampio viršūnėse: q₃ = 3 µC yra stačiojo kampo viršūnėje, q₁ = 4 µC – 3 cm nuo jos išilgai vieno statinio, o q₂ = 10 µC – 10 cm nuo jos išilgai kito statinio. Raskite atstojamosios elektrinės jėgos, veikiančios q₃, modulį F.

q1 = 4 µCq2 = 10 µCq3 = 3 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Raskite srovę IR2 per R2.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​10 ΩBR6​3 Ω

Raskite šaltinio tiekiamą srovę IR1, tekančią per R1.

V1 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 ΩR5 = 5 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 2,2 kΩC220 µF+−vC​

Šaltinis Vₛ per R₁ krauna kondensatorių, o R₂ prijungtas lygiagrečiai su C. Kondensatorius neįkrautas, kai jungiklis užsidaro momentu t = 0. Raskite kondensatoriaus įtampą vC momentu t = 250 ms.

Vs = 10 VR1 = 2,2 kΩR2 = 2,2 kΩC = 220 µFt = 250 ms
vC = V
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
+−Vs​6 Vt = 0R = 2,2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 4 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko vC pasieks 4,8 V? Raskite t.

Vs = 6 VR = 2,2 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
+v = 8 × 10⁶ m/sr = ?B = 0,4 T

Protonas juda 8 × 10⁶ m/s greičiu statmenai tolygiam 0,4 T magnetiniam laukui. Raskite jo apskritiminės trajektorijos spindulį r.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0,4 T
r = cm
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
L = 500 mH0,5 → 5,5 A

500 mH induktyvumo ritėje srovė tolygiai keičiasi nuo 0,5 A iki 5,5 A per 2 ms. Raskite savaiminės indukcijos elektrovaros didumą ε.

L = 500 mH0,5 A → 5,5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Vf0​ = 100 HzRL = 100 mHC = ?

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 100 mH, turi rezonuoti esant 100 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f0 = 100 HzL = 100 mH
C = µF
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
12 V1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF+−VC​

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 1000 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą VC ant kondensatoriaus.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF
VC = V

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: x = 20,71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vienodi laukai

2/x² = 4/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(4/2) = 1,414

Padėtis

x = 50/(1 + 1,414) = 20,71 cm

Atsakymas

x = 20,71 cm

Nulinis taškas visada arčiau mažesniojo krūvio.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 122,9 N

Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.

Kiekviena jėga, veikianti q₃

F1 = k·4·3 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N
F2 = k·10·3 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

Vektorinė suma

F = √(119,9² + 26,97²) = 122,9 N

Atsakymas

F = 122,9 N
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR2 = 0,2791 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​4 ΩB

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Req = R1 + 3,429 = 15 + 3,429 = 18,43 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 9/18,43 = 0,4884 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,4884·15 = 1,674 V
IR2 = VA/R2 = 1,674/6 = 0,2791 A

Atsakymas

IR2 = 0,2791 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: IR1 = 0,2446 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​10 ΩBR6​3 Ω

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R5 + R6 = 5 + 3 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 12,44 Ω
R2 ∥ 12,44 = 6,802 Ω
Req = R1 + 6,802 = 30 + 6,802 = 36,8 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

IR1 = V1/Req = 9/36,8 = 0,2446 A

Atsakymas

IR1 = 0,2446 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: vC = 3,22 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Kondensatoriaus matomas Tevenino ekvivalentas

Šaltinį trumpai sujunkite, kad rastumėte Rth; kondensatorių atjunkite, kad rastumėte įtampą, iki kurios jis nusistovės.

Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·2,2/(2,2 + 2,2) = 1,1 kΩ
vC(∞) = 10·2,2/(2,2 + 2,2) = 5 V

Laiko konstanta

τ = Rth·C = 1,1·220 = 242 ms

Įkrovimo kreivė

vC(t) = 5·(1 − e−250/242) = 3,22 V

Atsakymas

vC = 3,22 V
6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 76,42 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms
vC(t) = 6 + (4 − 6)·e−t/τ

Išreiškite laiką

4,8 = 6 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (4,8 − 6)/(4 − 6) = 0,6
t = τ·ln((4 − 6)/(4,8 − 6)) = 149,6·ln(1,667) = 76,42 ms

Atsakymas

t = 76,42 ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: r = 20,89 cm

Magnetinės jėgos: tiesų laidą su srove I lauke B veikia F = BIL·sin θ, o judantį krūvį – F = |q|vB·sin θ, kur θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir B. Jėga statmena abiem: dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai I arba v, lenkite link B, ir nykštys rodo F teigiamam krūviui; neigiamam krūviui kryptį apverskite. Kadangi F statmena v, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu: |q|vB = mv²/r duoda r = mv/(|q|B) ir periodą T = 2πm/(|q|B), kuris nuo greičio nepriklauso. Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Jėgų pusiausvyra

Magnetinė jėga visada statmena greičiui, todėl ji išlenkia trajektoriją į apskritimą.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Spindulys

r = 1,673 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,2089 m = 20,89 cm

Atsakymas

r = 20,89 cm
8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: ε = 1250 V

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Savaiminės indukcijos elektrovara

Elektrovara priešinasi srovės pokyčiui (Lencas), todėl jos ženklas priešingas ΔI; dydis yra L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,5·5/0,002 = 1250 V

Atsakymas

ε = 1250 V
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 25,33 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,1) = 25,33 µF

Atsakymas

C = 25,33 µF
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: VC = 0,06473 V

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (624,9)²) = 627,8 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/627,8 = 0,01911 A

Įtampa ant kondensatoriaus

VC = I·XC = 0,01911·3,386 = 0,06473 V

Atsakymas

VC = 0,06473 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism