Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis: F = k·|q₁q₂|/r²
Taškinio krūvio laukas: E = k·|q|/r²
Konstanta: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį: F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai: R_eq = R₁ + R₂ + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Du lygiagrečiai: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Omo dėsnis: V = I·R
Galia: P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas: B = μ₀I/(2πr)
Plokščios ritės centras: B = μ₀NI/(2R)
Ilgas solenoidas: B = μ₀nI, n = N/L
Konstanta: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą: F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį: F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Srautas: Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis: ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas: ε = BLv
Generatorius: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktyvumas: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Greičio selektorius ir spektrometras: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis

Trys taškiniai krūviai yra vienoje tiesėje: +4 µC kairėje, +8 µC dešinėje 30 cm atstumu ir −3 µC tarp jų, 15 cm nuo kairiojo krūvio. Raskite viduriniam krūviui veikiančios atstojamosios elektrinės jėgos didumą F. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +8 µCq_M = −3 µCr_L = 15 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus

Trys teigiami taškiniai krūviai yra stačiojo trikampio viršūnėse: q₃ = 5 µC yra stačiojo kampo viršūnėje, q₁ = 6 µC – 10 cm nuo jos išilgai vieno statinio, o q₂ = 6 µC – 6 cm nuo jos išilgai kito statinio. Raskite atstojamosios elektrinės jėgos, veikiančios q₃, modulį F.

q₁ = 6 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis

Raskite srovę I_R2 per R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus

Raskite šaltinio tiekiamą srovę I_R1, tekančią per R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Po kiek laiko nuo jungiklio užsidarymo srovė pasiekia 80% galutinės vertės? Raskite t.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 2 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko v_C pasieks 6 V? Raskite t.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis

Alfa dalelė juda apskritimu tolygiame 1 T magnetiniame lauke. Raskite laiką T, per kurį jis padaro vieną apsisukimą.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 1 T

T = ns

8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus

Ilgas oro šerdies solenoidas turi 200 vijų, 15 cm ilgį ir 1 cm skersmenį. Raskite jo magnetiniame lauke sukauptą energiją W, kai juo teka 1,5 A srovė.

N = 200l = 15 cm⌀ = 1 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 50 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 4,795 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kiekvieno krūvio jėga

Teigiama kryptis į dešinę.

F_L = −k·4·3 × 10⁻¹²/0,15² = −4,795 N

F_R = +k·8·3 × 10⁻¹²/0,15² = 9,589 N

Atstojamoji jėga

F = −4,795 + (9,589) = 4,795 N → |F| = 4,795 N

Atsakymas

F = 4,795 N

Atstojamoji jėga nukreipta į dešinę.

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: F = 79,62 N

Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.

Kiekviena jėga, veikianti q₃

F₁ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

Vektorinė suma

F = √(26,97² + 74,92²) = 79,62 N

Atsakymas

F = 79,62 N

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R2 = 0,7692 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 15 + 6,667 = 21,67 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21,67 = 1,385 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,385·15 = 9,231 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,231/12 = 0,7692 A

Atsakymas

I_R2 = 0,7692 A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R1 = 1,47 A

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 3,59 Ω

R₃ + 3,59 = 13,59 Ω

R₂ ∥ 13,59 = 4,162 Ω

R_eq = R₁ + 4,162 = 4 + 4,162 = 8,162 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,162 = 1,47 A

Atsakymas

I_R1 = 1,47 A

5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 3,316 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Išreiškite laiką

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −2,061·ln(0,2) = 3,316 ms

Atsakymas

t = 3,316 ms

6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 335,5 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

6 = 10 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6 − 10)/(2 − 10) = 0,5

t = τ·ln((2 − 10)/(6 − 10)) = 484·ln(2) = 335,5 ms

Atsakymas

t = 335,5 ms

7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: T = 130,3 ns

Magnetinės jėgos: tiesų laidą su srove I lauke B veikia F = BIL·sin θ, o judantį krūvį – F = |q|vB·sin θ, kur θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir B. Jėga statmena abiem: dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai I arba v, lenkite link B, ir nykštys rodo F teigiamam krūviui; neigiamam krūviui kryptį apverskite. Kadangi F statmena v, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu: |q|vB = mv²/r duoda r = mv/(|q|B) ir periodą T = 2πm/(|q|B), kuris nuo greičio nepriklauso. Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Apskritiminio judėjimo periodas

Greitesnė dalelė juda didesniu apskritimu, todėl vieno apsisukimo trukmė nesikeičia.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·1) = 130,3 ns

Atsakymas

T = 130,3 ns

Greičio nereikia: todėl ciklotronas gali naudoti vieną pastovų dažnį.

8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: W = 29,61 µJ

Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).

Savaiminės indukcijos induktyvumas

L = μ₀N²A/l = 26,32 µH

Sukaupta energija

W = ½LI² = ½·2,632 × 10⁻⁵·1,5² = 2,961 × 10⁻⁵ J = 29,61 µJ

Atsakymas

W = 29,61 µJ

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 7,825 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 50/10 = 5 A

I_X = V/X_L = 50/12,57 = 3,979 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 3,979²) = 6,39 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 50/6,39 = 7,825 Ω

Atsakymas

|Z| = 7,825 Ω

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 38,69 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−110,4)²) = 112,2 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/112,2 = 0,107 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 0,107·361,7 = 38,69 V

Atsakymas

V_C = 38,69 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism