Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
- Kulono dėsnis
- F = k·|q1q2|/r²
- Taškinio krūvio laukas
- E = k·|q|/r²
- Konstanta
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Jėga, veikianti krūvį
- F = q·E
Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
- Nuosekliai sujungti rezistoriai
- Req = R1 + R2 + …
- Lygiagrečiai sujungti rezistoriai
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Du lygiagrečiai
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Omo dėsnis
- V = I·R
- Galia
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodas
- Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
- Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
- Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.
RC ir RL pereinamieji procesai
- Laiko konstanta
- τ = RC | τ = L/R
- Atsakas
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensatorius esant nuolatinei srovei
- atvira grandinė; vC negali kisti šuoliu
- Ritė esant nuolatinei srovei
- trumpasis jungimas; iL negali kisti šuoliu
- Nusistovėjęs režimas
- t ≈ 5τ
Metodas
- Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
- Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
- Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
- Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetiniai laukai ir indukcija
- Ilgas tiesus laidas
- B = μ0I/(2πr)
- Plokščios ritės centras
- B = μ0NI/(2R)
- Ilgas solenoidas
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstanta
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Jėga, veikianti laidą
- F = BIL·sin θ
- Jėga, veikianti krūvį
- F = |q|vB·sin θ
- Judėjimas apskritimu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Lygiagretūs laidai
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Srautas
- Φ = BA·cos θ
- Faradėjaus dėsnis
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Judantis strypas
- ε = BLv
- Generatorius
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktyvumas
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Abipusis induktyvumas
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Greičio selektorius ir spektrometras
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodas
- Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
- Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
- Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
- Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.
Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
- Pilnutinės varžos
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kampinis dažnis
- ω = 2πf
- Modulis ir kampas
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Omo dėsnis fazoriams
- V = I·Z
Metodas
- Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
- Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
- Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
- Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.
2Uždaviniai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis
Du vienodi maži metaliniai rutuliukai turi +10 µC ir −4 µC krūvius. Jie suliečiami, o paskui vėl padedami 10 cm atstumu. Raskite jėgos tarp jų didumą F dabar. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −4 µCr = 10 cm
F = N
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus
Du vienodi maži rutuliukai, kiekvieno masė 2 g, kabo iš to paties taško ant 60 cm ilgio izoliuojančių siūlų. Jiems suteikiami vienodi krūviai, ir kiekvienas siūlas nusistovi 5° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kiekvieno rutuliuko krūvį q nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 2 gL = 60 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus
Raskite srovę IR2 per R2.
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis
Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite srovę i momentu t = 1 ms.
Vs = 12 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus
Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 4 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko vC pasieks 5 V? Raskite t.
Vs = 6 VR = 2,2 kΩC = 10 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis
Alfa dalelė juda 6 × 10⁵ m/s greičiu statmenai tolygiam 0,4 T magnetiniam laukui. Raskite jo apskritiminės trajektorijos spindulį r.
m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sB = 0,4 T
r = cm
8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus
500 vijų, 5 cm × 15 cm ritė sukasi tolygiame 0,3 T lauke apie ašį, statmeną laukui. Kokiu greičiu n (apsisukimais per minutę) ji turi suktis, kad efektinė elektrovara būtų 24,99 V?
N = 500A = 5 cm × 15 cmB = 0,3 TErms = 24,99 V
n = rpm
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 50 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 150 mH
φ = °
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
Rezistorius R1 nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R2 ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 100 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.
V = 100 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
3Tirpalai
1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: F = 8,091 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Krūvis suliečius
q′ = (10 + −4)/2 = 3 µC
Nauja jėga
F = 8,99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0,1² = 8,091 N
Atsakymas
F = 8,091 N
Dabar abiejų rutuliukų krūvių ženklas tas pats, todėl jie stumia vienas kitą.
2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas
Atsakymas: q = 45,7 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Elektrinė jėga iš pusiausvyros
Įtempimo jėgos horizontalioji dalis atsveria F, vertikalioji – m·g.
F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 5° = 0,001717 N
Atstumas
r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 5° = 0,1046 m
Krūvis
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1046·√(0,001717/8,99 × 10⁹) = 4,57 × 10⁻⁸ C = 45,7 nC
Atsakymas
q = 45,7 nC
3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 0,7448 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω
Req = R1 + 3,913 = 15 + 3,913 = 18,91 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 18/18,91 = 0,9517 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0,9517·15 = 3,724 V
IR2 = VA/R2 = 3,724/5 = 0,7448 A
Atsakymas
IR2 = 0,7448 A
4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai
Atsakymas: IR2 = 1,664 A
Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.
Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo
Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.
R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 2,667 Ω
R3 + 2,667 = 14,67 Ω
R2 ∥ 14,67 = 1,76 Ω
Req = R1 + 1,76 = 3 + 1,76 = 4,76 Ω
Šaltinio srovė
Šaltinis mato tik Req, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.
IR1 = V1/Req = 9/4,76 = 1,891 A
Srovė per R₂
Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,891·3 = 3,328 V
IR2 = VA/R2 = 3,328/2 = 1,664 A
Atsakymas
IR2 = 1,664 A
5.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: i = 0,1572 A
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Laiko konstanta ir galutinė srovė
Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.
τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms
i(∞) = Vs/R = 12/50 = 0,24 A
Srovė duotuoju momentu
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,24·(1 − e−1/0,94) = 0,1572 A
Atsakymas
i = 0,1572 A
6.RC ir RL pereinamieji procesai
Atsakymas: t = 15,25 ms
Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.
Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta
Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 6 + (4 − 6)·e−t/τ
Išreiškite laiką
5 = 6 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (5 − 6)/(4 − 6) = 0,5
t = τ·ln((4 − 6)/(5 − 6)) = 22·ln(2) = 15,25 ms
Atsakymas
t = 15,25 ms
7.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: r = 3,111 cm
Magnetinės jėgos: tiesų laidą su srove I lauke B veikia F = BIL·sin θ, o judantį krūvį – F = |q|vB·sin θ, kur θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir B. Jėga statmena abiem: dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai I arba v, lenkite link B, ir nykštys rodo F teigiamam krūviui; neigiamam krūviui kryptį apverskite. Kadangi F statmena v, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu: |q|vB = mv²/r duoda r = mv/(|q|B) ir periodą T = 2πm/(|q|B), kuris nuo greičio nepriklauso. Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Jėgų pusiausvyra
Magnetinė jėga visada statmena greičiui, todėl ji išlenkia trajektoriją į apskritimą.
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
Spindulys
r = 6,645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,03111 m = 3,111 cm
Atsakymas
r = 3,111 cm
8.Magnetiniai laukai ir indukcija
Atsakymas: n = 300 rpm
Elektromagnetinė indukcija: srautas per kontūrą yra Φ = BA·cos θ, kur θ yra kampas tarp B ir kontūro normalės. Faradėjaus dėsnis: srauto pokytis N vijų ritėje indukuoja elektrovarą = −N·dΦ/dt, o Lenco dėsnis sako, kad indukuota srovė teka taip, jog jos pačios laukas priešinasi pokyčiui. Strypas, judantis skersai lauko, sukuria elektrovarą = BLv. Ritė, besisukanti kampiniu greičiu ω, sukuria e = NBAω·sin ωt, amplitudė NBAω. Savaiminė indukcija: elektrovara = −L·di/dt, ilgam solenoidui L = μ₀N²A/l, o sukaupta energija W = ½LI². Dvi susietos ritės: elektrovara₂ = −M·di₁/dt, kur M = k√(L₁L₂).
Elektrovaros amplitudė
E₀ = √2·Erms = 35,34 V
Kampinis greitis
ω = E₀/(NBA) = 35,34/(500·0,3·0,0075) = 31,41 rad/s
Apsisukimai per minutę
n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm
Atsakymas
n = 300 rpm
9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: φ = 19,48 °
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyvioji varža
XL = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω
Šakų srovės
Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.
IR = V/R = 50/20 = 2,5 A
IX = V/XL = 50/56,55 = 0,8842 A
Bendra srovė
Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.
I = √(IR² + IX²) = √(2,5² + 0,8842²) = 2,652 A
Fazės kampas
Ritės srovė atsilieka nuo V, todėl bendra srovė atsilieka, o kampas teigiamas.
φ = arctan(IX/IR) = arctan(0,8842/2,5) = 19,48°
Atsakymas
φ = 19,48°
10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai
Atsakymas: I = 0,9671 A
Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.
Reaktyvioji varža
XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Lygiagretus junginys
Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Zp išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 51,2 − j21,23 Ω
Bendra pilnutinė varža
Z = 50 + 51,2 − j21,23 = 101,2 − j21,23 Ω
|Z| = √(101,2² + 21,23²) = 103,4 Ω
Srovė
I = V/|Z| = 100/103,4 = 0,9671 A
Atsakymas
I = 0,9671 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism