Fizika 2: elektra ir magnetizmas: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Kulono dėsnis: F = k·|q₁q₂|/r²
Taškinio krūvio laukas: E = k·|q|/r²
Konstanta: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Jėga, veikianti krūvį: F = q·E

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Nuosekliai sujungti rezistoriai: R_eq = R₁ + R₂ + …
Lygiagrečiai sujungti rezistoriai: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Du lygiagrečiai: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Omo dėsnis: V = I·R
Galia: P = V·I = I²R = V²/R

Metodas

Pradėkite nuo grandinės galo, esančio toliausiai nuo gnybtų.
Nuosekliai sujungtus rezistorius sudėkite, o lygiagrečius junkite pagal 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po kiekvieno žingsnio perbraižykite grandinę.
Kartokite, kol tarp gnybtų liks vienas rezistorius.

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetiniai laukai ir indukcija

Ilgas tiesus laidas: B = μ₀I/(2πr)
Plokščios ritės centras: B = μ₀NI/(2R)
Ilgas solenoidas: B = μ₀nI, n = N/L
Konstanta: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Jėga, veikianti laidą: F = BIL·sin θ
Jėga, veikianti krūvį: F = |q|vB·sin θ
Judėjimas apskritimu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Lygiagretūs laidai: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Srautas: Φ = BA·cos θ
Faradėjaus dėsnis: ε = −N·ΔΦ/Δt
Judantis strypas: ε = BLv
Generatorius: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktyvumas: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Abipusis induktyvumas: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Greičio selektorius ir spektrometras: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodas

Kiekvieną dydį paverskite SI vienetais: cm į m, cm² į m², mT ir µT į T.
Pasirinkite tinkamą formulę: B = μ₀I/(2πr) laidui, μ₀NI/(2R) ritės centrui, μ₀nI solenoido viduje; F = BIL·sin θ arba |q|vB·sin θ jėgoms.
Indukcijai raskite srauto pokytį ΔΦ = Δ(BA·cos θ) ir naudokite ε = N·ΔΦ/Δt arba ε = BLv judančiam strypui ir NBAω besisukančiai ritei.
Kryptis nustatykite atskirai dešinės rankos taisyklėmis, o indukuotų srovių – Lenco dėsniu.

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

2Uždaviniai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasVidutinis

Krūvis +8 µC ir krūvis +6 µC yra 20 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra tiesėje tarp jų, 15 cm atstumu nuo pirmojo krūvio. Raskite elektrinio lauko stiprio modulį E taške P.

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukasSunkus

+2 µC ir −2 µC krūviai yra 10 cm atstumu vienas nuo kito. Taškas P yra 5 cm nuo vidurio taško tarp jų, ant juos jungiančios atkarpos vidurio statmens. Raskite elektrinio lauko stiprio didumą E taške P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 10 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiVidutinis

Raskite srovę I_R2 per R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriaiSunkus

Raskite srovę I_R2 per R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 1 ms, mJ.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 18 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko v_C pasieks 14 V? Raskite t.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Magnetiniai laukai ir indukcijaVidutinis

Alfa dalelė juda 2,5 × 10⁵ m/s greičiu statmenai tolygiam 0,1 T magnetiniam laukui. Raskite jo apskritiminės trajektorijos spindulį r.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sB = 0,1 T

r = cm

8.Magnetiniai laukai ir indukcijaSunkus

Greičio selektoriuje statmenieji laukai E = 8 × 10⁴ V/m ir B = 0,25 T leidžia tiesiai praeiti tik vieno greičio jonams. Raskite tą greitį v.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 10 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuoseklios RLC grandinės R = 2 Ω, L = 10 mH ir C = 2,2 µF. Raskite jos praleidžiamųjų dažnių juostos plotį B (juostos tarp pusinės galios dažnių plotį) Hz.

R = 2 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

B = Hz

3Tirpalai

1.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: E = 1,838 × 10⁷ N/C

Kulono dėsnis: du taškiniai krūviai traukia arba stumia vienas kitą jėga F = k·|q₁·q₂|/r², kur k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Taškinio krūvio lauko stipris E = k·|q|/r²; laukas nukreiptas nuo teigiamo krūvio ir į neigiamą. Kelių krūvių jėgos ir laukai sumuojami kaip vektoriai.

Kiekvieno krūvio laukas

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

Kryptys ir suma

Abu krūviai teigiami: taške P jų laukai nukreipti nuo kiekvieno krūvio, taigi priešingomis kryptimis.

E = |3,196 × 10⁶ − 2,158 × 10⁷| = 1,838 × 10⁷ N/C

Atsakymas

E = 1,838 × 10⁷ N/C

2.Kulono dėsnis ir elektrinis laukas

Atsakymas: E = 5,086 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Vieno krūvio atstumas ir laukas

r = √(5² + 5²) = 7,071 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,07071² = 3,596 × 10⁶ N/C

Dedamosios

Dedamosios išilgai statmens panaikina viena kitą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,596 × 10⁶·0,7071 = 5,086 × 10⁶ N/C

Atsakymas

E = 5,086 × 10⁶ N/C

Laukas nukreiptas lygiagrečiai tiesei nuo teigiamo krūvio link neigiamo.

3.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R2 = 0,4286 A

Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai: nuosekliai per kiekvieną rezistorių teka ta pati srovė ir R = R₁ + R₂ + …. Lygiagrečiai ant kiekvieno rezistoriaus ta pati įtampa ir 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Kopėčių tinklas supaprastinamas po vieną porą, kol lieka viena ekvivalentinė varža.

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

Pradėkite nuo galo, esančio toliausiai nuo šaltinio, ir eikite link jo. Rezistoriai, kuriais teka ta pati srovė, sujungti nuosekliai; rezistoriai tarp tų pačių dviejų mazgų – lygiagrečiai.

R₃ + R₄ = 8 + 2 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 5 + 6,667 = 11,67 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11,67 = 1,286 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,286·5 = 8,571 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,571/20 = 0,4286 A

Atsakymas

I_R2 = 0,4286 A

4.Nuoseklūs ir lygiagretūs rezistoriai

Atsakymas: I_R2 = 0,3314 A

Junkite rezistorius nuo tolimiausio galo

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,167 Ω

R₃ + 4,167 = 19,17 Ω

R₂ ∥ 19,17 = 3,966 Ω

R_eq = R₁ + 3,966 = 8 + 3,966 = 11,97 Ω

Šaltinio srovė

Šaltinis mato tik R_eq, todėl Omo dėsnis duoda jo tiekiamą srovę. Ši srovė teka per R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/11,97 = 0,4179 A

Srovė per R₂

Atimkite įtampos kritimą ant R₁ ir gausite mazgo A įtampą, kuri yra įtampa ant R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,4179·8 = 1,657 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,657/5 = 0,3314 A

Atsakymas

I_R2 = 0,3314 A

5.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 1,341 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,6667·(1 − e^−1/0,6667) = 0,5179 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·10·0,5179² = 1,341 mJ

Atsakymas

W = 1,341 mJ

6.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 152,5 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 10 + (18 − 10)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

14 = 10 + (8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14 − 10)/(18 − 10) = 0,5

t = τ·ln((18 − 10)/(14 − 10)) = 220·ln(2) = 152,5 ms

Atsakymas

t = 152,5 ms

7.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: r = 5,185 cm

Magnetinės jėgos: tiesų laidą su srove I lauke B veikia F = BIL·sin θ, o judantį krūvį – F = |q|vB·sin θ, kur θ yra kampas tarp srovės (arba greičio) ir B. Jėga statmena abiem: dešinės rankos pirštus nukreipkite išilgai I arba v, lenkite link B, ir nykštys rodo F teigiamam krūviui; neigiamam krūviui kryptį apverskite. Kadangi F statmena v, krūvis, judantis skersai tolygaus lauko, juda apskritimu: |q|vB = mv²/r duoda r = mv/(|q|B) ir periodą T = 2πm/(|q|B), kuris nuo greičio nepriklauso. Du lygiagretūs laidai traukia vienas kitą, kai srovės teka ta pačia kryptimi: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Jėgų pusiausvyra

Magnetinė jėga visada statmena greičiui, todėl ji išlenkia trajektoriją į apskritimą.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Spindulys

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,1) = 0,05185 m = 5,185 cm

Atsakymas

r = 5,185 cm

8.Magnetiniai laukai ir indukcija

Atsakymas: v = 320000 m/s

Parinktas greitis

Nenukrypsta: elektrinė jėga qE atsveria magnetinę jėgą qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,25 = 320000 m/s

Atsakymas

v = 320000 m/s

9.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,1216 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (19,18)²) = 82,27 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 10/82,27 = 0,1216 A

Atsakymas

I = 0,1216 A

10.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: B = 31,83 Hz

Rezonansinis dažnis

f₀ = 1/(2π·√(0,01·2,2·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Kokybės faktorius

Q palygina reaktyviąją varžą rezonanso metu su varža: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,01/(2,2·10⁻⁶)) = 33,71

Juostos plotis

B = f₀/Q = 1073/33,71 = 31,83 Hz

Atsakymas

B = 31,83 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism