Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 30 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 95%, o galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 400 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 30 kWη = 95%cos φ = 0,9V_L = 400 V

I_L = A

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 80 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,95 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 5:1, pirminei apvijai prijungta 1200 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 20 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 200 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 1200 W. Esant vardinei apkrovai ir galios koeficientui 0,9 (induktyvus), jo naudingumo koeficientas 98%. Raskite vario nuostolius P_cu,fl vatais esant vardinei apkrovai.

S = 200 kVAP_core = 1200 Wpf = 0,9η = 98%

P_cu,fl = W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 230 V tinklo ima 23 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Raskite jo naudojamą reaktyviąją galią Q.

P = 23 kWpf = 0,75V = 230 V

Q = kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 230 V, 60 Hz tinklo ima 35 kW, kai galios koeficientas 0,6 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,92. Raskite reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorius.

P = 35 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 120 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 230 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 50 ΩC = 10 µF

I = A

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 0,1 V·s/rad, maitinamas 24 V. Neįskaitydami visų nuostolių tuščiąja eiga, raskite jo tuščiosios eigos greitį n₀ aps./min.

V = 24 Vk = 0,1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω), prijungtas prie pastovios 120 V įtampos, suka 10 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą R_s, kuri jį sulėtina iki 900 aps./min.

V = 120 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 10 N·mn = 900 rpm

R_s = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 50,64 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 30/0,95 = 31,58 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 31579/(√3·400·0,9) = 50,64 A

Atsakymas

I_L = 50,64 A

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 187,8 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,71 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11235/(377·398,4²) = 187,8 µF

Atsakymas

C_ph = 187,8 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: I₁ = 2,4 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/20 = 12 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 2,4 A

Atsakymas

I₁ = 2,4 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·R_L = 500 Ω, o 1200/500 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: P_cu,fl = 2473 W

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Išėjimo ir įėjimo galia

P_out = 200·0,9 = 180 kW

P_in = 180000/0,98 = 183673 W

Bendri ir vario nuostoliai

P_loss = 183673 − 180000 = 3673 W

P_cu,fl = 3673 − 1200 = 2473 W

Atsakymas

P_cu,fl = 2473 W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 20,28 kvar

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kampas

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Reaktyvioji galia

Q = P·tan φ = 23·0,8819 = 20,28 kvar

Atsakymas

Q = 20,28 kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q_C = 31,76 kvar

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(53,13°) = 46,67 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(23,07°) = 14,91 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,76 kvar

Atsakymas

Q_C = 31,76 kvar

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 29,18 Ω

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_L = ωL = 2π·200·0,1 = 125,7 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 120/30 = 4 A

I_X = V/X_L = 120/125,7 = 0,9549 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4² + 0,9549²) = 4,112 A

Pilnutinė varža

|Z| = V/I = 120/4,112 = 29,18 Ω

Atsakymas

|Z| = 29,18 Ω

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 4,013 A

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 45,51 − j14,3 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 10 + 45,51 − j14,3 = 55,51 − j14,3 Ω

|Z| = √(55,51² + 14,3²) = 57,32 Ω

Srovė

I = V/|Z| = 230/57,32 = 4,013 A

Atsakymas

I = 4,013 A

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n₀ = 2292 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Tuščiosios eigos greitis

ω₀ = V/k = 24/0,1 = 240 rad/s

n₀ = 60·240/(2π) = 2292 rpm

Atsakymas

n₀ = 2292 rpm

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_s = 3,042 Ω

Srovė ir priešelektrovara

I_a = 10/0,4 = 25 A

E = 0,4·94,25 = 37,7 V

Nuoseklioji varža

R_a + R_s = (120 − 37,7)/25 = 3,292 Ω

R_s = 3,042 Ω

Atsakymas

R_s = 3,042 Ω

Rezistorius išsklaido 1901 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems