Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 10 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 208 V. Galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 208 VI_L = 10 Acos φ = 0,85

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 60 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Prie idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 12:1, antrinės apvijos prijungtas 10 Ω rezistorius. Raskite varžą R_1′, matomą iš pirminės apvijos pusės.

N₁:N₂ = 12:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 250 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 2000 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 3000 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 3000 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Apkrova, kurios pilnutinė varža Z = 4 + j3 Ω, prijungta prie 240 V (efektinė) vienfazio tinklo. Raskite jos imamą reaktyviąją galią Q.

V = 240 VZ = 4 + j3 Ω

Q = var

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

12 V (efektinė), 50 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 10 + j10 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 12 V (rms)f = 50 HzZ_s = 10 + j10 Ω

P_max = W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 5 mH, turi rezonuoti esant 2000 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f₀ = 2000 HzL = 5 mH

C = µF

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 10 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF

V_C = V

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 1,5 V·s/rad, maitinamas 120 V. Neįskaitydami visų nuostolių tuščiąja eiga, raskite jo tuščiosios eigos greitį n₀ aps./min.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 1 Ω), prijungtas prie pastovios 110 V įtampos, suka 4,8 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą R_s, kuri jį sulėtina iki 500 aps./min.

V = 110 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 1 ΩT = 4,8 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 3,062 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·208·10 = 3,603 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 3,603·0,85 = 3,062 kW

Atsakymas

P = 3,062 kW

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 616 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44,59 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14863/(314,2·277,1²) = 616 µF

Atsakymas

C_ph = 616 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: R_1′ = 1440 Ω

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Perskaičiuota varža

Įtampa padidėja a kartų, o srovė a kartų sumažėja, todėl santykis V/I padidėja a² kartų.

R_1′ = a²·R_L = 12²·10 = 1440 Ω

Atsakymas

R_1′ = 1440 Ω

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 204,1 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·3000 = 2000 → x = √(2000/3000) = 0,8165

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,8165·250 = 204,1 kVA

Atsakymas

S_η,max = 204,1 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 6912 var

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Srovė

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 240/5 = 48 A

Reaktyvioji galia

Q = I²·X = 48²·3 = 6912 var

Atsakymas

Q = 6912 var

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 3,6 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 10 − j10 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 12/20 = 0,6 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·10) = 3,6 W

Atsakymas

P_max = 3,6 W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 1,267 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,005) = 1,267 µF

Atsakymas

C = 1,267 µF

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 23,35 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−45,17)²) = 51,63 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 10/51,63 = 0,1937 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 0,1937·120,6 = 23,35 V

Atsakymas

V_C = 23,35 V

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n₀ = 763,9 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Tuščiosios eigos greitis

ω₀ = V/k = 120/1,5 = 80 rad/s

n₀ = 60·80/(2π) = 763,9 rpm

Atsakymas

n₀ = 763,9 rpm

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_s = 10,35 Ω

Srovė ir priešelektrovara

I_a = 4,8/0,8 = 6 A

E = 0,8·52,36 = 41,89 V

Nuoseklioji varža

R_a + R_s = (110 − 41,89)/6 = 11,35 Ω

R_s = 10,35 Ω

Atsakymas

R_s = 10,35 Ω

Rezistorius išsklaido 372,7 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems