Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas
VL = √3·Vph, IL = Iph
Trikampio (Δ) jungimas
VL = Vph, IL = √3·Iph
Bendra aktyvioji galia
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus
Δ: VL Y: VL/√3
Variklio naudojama galia
Pin = Pout/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas
a = N1/N2 = V1/V2
Srovių santykis
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Vardinė srovė
I = S/V
Perskaičiuota varža
Z1′ = a²·ZL
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui
Pcu = x²·Pcu,fl
Naudingumo koeficientas
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia
P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia
Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia
S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas
pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė
V = E + IaRa
Priešelektrovara ir momentas
E = k·ω, T = k·Ia
Greitis
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Galios
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Paleidimas
Istart = V/(Ra + Rst)
Greičio reguliavimas
SR = (n0 − nFL)/nFL
Didžiausia išvystoma galia
Pmax = V²/(4Ra)
Pertraukiklio pavara
Va = D·Vdc

Metodas

  1. Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža Ra ir priešelektrovara E nuosekliai.
  2. Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + Ia·Ra.
  3. Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·Ia, kai ω = 2π·n/60.
  4. Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·Ia, atimkite vario nuostolius Ia²·Ra, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M37 kW, η = 93%cos φ = 0,9

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 37 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 93%, o galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 400 V. Raskite linijinę srovę IL.

Pout = 37 kWη = 93%cos φ = 0,9VL = 400 V
IL = A
2.Trifazė galiaSunkus
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 300 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,95 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią QC, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 300 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.TransformatoriaiVidutinis
16 ΩN1​N2​2304 Ω

Stiprintuvas, kurio išėjimo varža 2304 Ω, per idealų transformatorių maitina 16 Ω garsiakalbį. Kad būtų perduodama didžiausia galia, iš stiprintuvo pusės garsiakalbis turi atrodyti kaip 2304 Ω. Raskite transformacijos koeficientą a = N₁/N₂.

Rs = 2304 ΩRL = 16 Ω
a =
4.TransformatoriaiSunkus
100 kVA

Vienfazio 100 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 400 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 1000 W. Esant kokiai apkrovai Sη,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 100 kVAPcore = 400 WPcu,fl = 1000 W
Sη,max = kVA
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis
120 VR + jXP = 912 W9,5 A

Induktyvioji apkrova iš 120 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 9,5 A ir 912 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite R.

V = 120 VI = 9,5 AP = 912 W
R = Ω
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus
50 V1000 HzRs​ = 20 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

50 V (efektinė), 1000 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Zs = 20 + j15 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą ZL galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią Pmax, kurią galima perduoti apkrovai.

Vs = 50 V (rms)f = 1000 HzZs = 20 + j15 Ω
Pmax = W
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
Vf0​ = 50 HzRL = 2 mHC = ?

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 2 mH, turi rezonuoti esant 50 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f0 = 50 HzL = 2 mH
C = µF
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
230 V50 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 20 ΩC = 100 µFI

Rezistorius R1 nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R2 ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 230 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
I = A
9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 1 N·m/A, o Ra = 0,8 Ω, prijungtas prie 110 V. Raskite jo stabdymo momentą Tstall, momentą esant nuliniam greičiui.

V = 110 Vk = 1 N·m/ARa = 0,8 Ω
Tstall = N·m
10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus
+−48 VRs​ = ?Ra​ = 1 ΩM+−En = 300 rpmT = 1,5 N·m

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 1 Ω), prijungtas prie pastovios 48 V įtampos, suka 1,5 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą Rs, kuri jį sulėtina iki 300 aps./min.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/radRa = 1 ΩT = 1,5 N·mn = 300 rpm
Rs = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: IL = 63,81 A

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Naudojama elektrinė galia

Pin = Pout/η = 37/0,93 = 39,78 kW

Linijos srovė

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39785/(√3·400·0,9) = 63,81 A

Atsakymas

IL = 63,81 A
2.Trifazė galia

Atsakymas: QC = 207,5 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia QC/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje VL, žvaigžde sujungtoje – VL/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,7) = 300·1,02 = 306,1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

QC = Q1 − Q2 = 207,5 kvar

Atsakymas

QC = 207,5 kvar
3.Transformatoriai

Atsakymas: a = 12

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Suderinkite perskaičiuotą apkrovą

a²·16 = 2304
a = √(2304/16) = √144 = 12

Atsakymas

a = 12
4.Transformatoriai

Atsakymas: Sη,max = 63,25 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·Pcu,fl. Naudingumo koeficientas η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), kur Pout = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·1000 = 400 → x = √(400/1000) = 0,6325

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

Sη,max = x·S = 0,6325·100 = 63,25 kVA

Atsakymas

Sη,max = 63,25 kVA
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: R = 10,11 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 912/9,5² = 10,11 Ω

Atsakymas

R = 10,11 Ω
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Pmax = 31,25 W

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

ZL = Zs* = 20 − j15 Ω

Didžiausia galia

I = Vs/(2Rs) = 50/40 = 1,25 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·20) = 31,25 W

Atsakymas

Pmax = 31,25 W
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 5066 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,002) = 5066 µF

Atsakymas

C = 5066 µF
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 8,862 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Zp išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 14,34 − j9,01 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 10 + 14,34 − j9,01 = 24,34 − j9,01 Ω
|Z| = √(24,34² + 9,01²) = 25,95 Ω

Srovė

I = V/|Z| = 230/25,95 = 8,862 A

Atsakymas

I = 8,862 A
9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: Tstall = 137,5 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Stabdymo srovė

Ia = V/Ra = 110/0,8 = 137,5 A

Stabdymo momentas

Tstall = 1·137,5 = 137,5 N·m

Atsakymas

Tstall = 137,5 N·m
10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: Rs = 11,22 Ω

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Srovė ir priešelektrovara

Ia = 1,5/0,75 = 2 A
E = 0,75·31,42 = 23,56 V

Nuoseklioji varža

Ra + Rs = (48 − 23,56)/2 = 12,22 Ω
Rs = 11,22 Ω

Atsakymas

Rs = 11,22 Ω

Rezistorius išsklaido 44,88 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems