Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas
VL = √3·Vph, IL = Iph
Trikampio (Δ) jungimas
VL = Vph, IL = √3·Iph
Bendra aktyvioji galia
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus
Δ: VL Y: VL/√3
Variklio naudojama galia
Pin = Pout/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas
a = N1/N2 = V1/V2
Srovių santykis
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Vardinė srovė
I = S/V
Perskaičiuota varža
Z1′ = a²·ZL
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui
Pcu = x²·Pcu,fl
Naudingumo koeficientas
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia
P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia
Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia
S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas
pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kampinis dažnis
ω = 2πf
Modulis ir kampas
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams
V = I·Z

Metodas

  1. Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
  2. Raskite kiekvieną reaktansą: XL = ωL ir XC = 1/(ωC).
  3. Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
  4. Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė
V = E + IaRa
Priešelektrovara ir momentas
E = k·ω, T = k·Ia
Greitis
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Galios
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Paleidimas
Istart = V/(Ra + Rst)
Greičio reguliavimas
SR = (n0 − nFL)/nFL
Didžiausia išvystoma galia
Pmax = V²/(4Ra)
Pertraukiklio pavara
Va = D·Vdc

Metodas

  1. Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža Ra ir priešelektrovara E nuosekliai.
  2. Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + Ia·Ra.
  3. Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·Ia, kai ω = 2π·n/60.
  4. Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·Ia, atimkite vario nuostolius Ia²·Ra, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis
ABCVL​ = 480 VIL​ = 20 Acos φ = 0,75induktyvus

Simetrinė trifazė apkrova ima 20 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 480 V. Galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

VL = 480 VIL = 20 Acos φ = 0,75
P = kW
2.Trifazė galiaSunkus
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 250 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą Cph µF.

P = 250 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.TransformatoriaiVidutinis
RL​ = 10 Ω511200 VV2​I1​ = ?I2​

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 5:1, pirminei apvijai prijungta 1200 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 10 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I1.

N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 10 Ω
I1 = A
4.TransformatoriaiSunkus
100 kVA

Vienfazio 100 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 800 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 3200 W. Esant kokiai apkrovai Sη,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 100 kVAPcore = 800 WPcu,fl = 3200 W
Sη,max = kVA
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis
400 V120 kW, 0,85221 kW, 1I

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 400 V vienfazio tinklo: 20 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,85 (induktyvus), ir 21 kW šildytuvas (galios koeficientas lygus vienetui). Raskite bendrą tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

V = 400 VP1 = 20 kW, pf1 = 0,85 induktyvusP2 = 21 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

Vienfazė apkrova iš 240 V, 60 Hz tinklo ima 40 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,9. Raskite reaktyviąją galią QC, kurią turi tiekti kondensatorius.

P = 40 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis
50 V200 HzR = 10 ΩL = 20 mHI

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 50 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mH
I = A
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus
5 Vf0​R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Nuosekli RLC grandinė maitinama 5 V (efektinė) šaltiniu, kurio dažnis nustatytas lygus grandinės rezonansiniam dažniui. Raskite efektinę įtampą VL ant ritės.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 1,5 V·s/rad, maitinamas 240 V. Neįskaitydami visų nuostolių tuščiąja eiga, raskite jo tuščiosios eigos greitį n0 aps./min.

V = 240 Vk = 1,5 V·s/rad
n0 = rpm
10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus
+−120 VRa​ = 2,5 ΩM+−EωT

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 2,5 Ω, jis maitinamas 120 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią Pmax, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 120 VRa = 2,5 Ω
Pmax = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 12,47 kW

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Pilnutinė galia

S = √3·VL·IL = √3·480·20 = 16,63 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 16,63·0,75 = 12,47 kW

Atsakymas

P = 12,47 kW
2.Trifazė galia

Atsakymas: Cph = 834,6 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, VL = √3·Vph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, IL = √3·Iph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia QC/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje VL, žvaigžde sujungtoje – VL/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

QC = Q1 − Q2 = 149,8 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 49935/(377·398,4²) = 834,6 µF

Atsakymas

Cph = 834,6 µF
3.Transformatoriai

Atsakymas: I1 = 4,8 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/10 = 24 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 4,8 A

Atsakymas

I1 = 4,8 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·RL = 250 Ω, o 1200/250 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: Sη,max = 50 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·Pcu,fl. Naudingumo koeficientas η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), kur Pout = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·3200 = 800 → x = √(800/3200) = 0,5

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

Sη,max = x·S = 0,5·100 = 50 kVA

Atsakymas

Sη,max = 50 kVA
5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,9572

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q1 = 20·tan(arccos 0,85) = 12,39 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Sumos

P = 20 + 21 = 41 kW
Q = 12,39 + 0 = 12,39 kvar
S = √(41² + 12,39²) = 42,83 kVA

Bendras galios koeficientas

cos φ = P/S = 41/42,83 = 0,9572 induktyvus

Atsakymas

cos φ = 0,9572
6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: QC = 21,44 kvar

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar
QC = Q1 − Q2 = 21,44 kvar

Atsakymas

QC = 21,44 kvar
7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 5,381 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

XL = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

IR = V/R = 50/10 = 5 A
IX = V/XL = 50/25,13 = 1,989 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(IR² + IX²) = √(5² + 1,989²) = 5,381 A

Atsakymas

I = 5,381 A
8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: VL = 111,8 V

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonansas

Rezonanso metu reaktyviosios varžos susiprastina, todėl pilnutinė varža lygi tik R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Įtampa ant ritės

XL = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω
VL = I·XL = 0,25·447,2 = 111,8 V

Atsakymas

VL = 111,8 V

Tai Q = 22,36 kartų didesnė už maitinimo įtampą.

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n0 = 1528 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Tuščiosios eigos greitis

ω₀ = V/k = 240/1,5 = 160 rad/s
n0 = 60·160/(2π) = 1528 rpm

Atsakymas

n0 = 1528 rpm
10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: Pmax = 1440 W

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža Ra, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + Ia·Ra. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·Ia, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·Ia = T·ω; įėjimo galia yra V·Ia, o skirtumą sudaro vario nuostoliai Ia²Ra ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − Ra·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/Ra. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/Ra yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Didžiausia galia

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·2,5) = 1440 W

Atsakymas

Pmax = 1440 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems