Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

15 punktų nerimo skalės Cronbacho alfa, lygi 0,88, rodo:

AGerą punktų vidinį suderinamumą
BKad skalė gerai prognozuoja būsimą nerimą
CKad skalė turi reikšmingą poveikį nerimui
DKad įverčiai stabilūs šešis mėnesius

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Kodėl daugelis tyrėjų teigia, kad p reikšmes reikėtų pateikti kartu su poveikio dydžiais ir pasikliautinaisiais intervalais?

APasikliautinieji intervalai reikalingi tik kokybiniuose tyrimuose
BDėl poveikio dydžių imties dydis tampa nesvarbus reikšmingumui
CP reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis
DP reikšmės rodo tikimybę, kad hipotezė teisinga

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 22, 14, 45, 32, 37, 16.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 200 z įvertį z.

μ = 170σ = 20x = 200

z =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 4

P =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15Y = 5X − 3

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 1041 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1041 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 90,5, standartinis nuokrypis s = 18,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 30x̄ = 90,5s = 18,599%t(29) = 2,756

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 14 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 13 kg, standartinis nuokrypis 2 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 6x̄₁ = 14s₁ = 5,5n₂ = 6x̄₂ = 13s₂ = 290%t(10) = 1,812

viršutinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 196,9, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,9s = 10n = 100

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 399%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 27Σy = 291Σx² = 139Σy² = 14719Σxy = 1409

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 21.

n = 6x = 21

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Gerą punktų vidinį suderinamumą

Kodėl tai yra atsakymas

Cronbacho alfa įvertina vidinį suderinamumą; maždaug 0,7 ar didesnės reikšmės paprastai laikomos priimtinomis. Pati savaime ji neparodo validumo.

Atsakymas

A · Gerą punktų vidinį suderinamumą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

Kodėl tai yra atsakymas

P reikšmė labai priklauso nuo imties dydžio ir tik parodo, kiek duomenys netikėti esant nulinei hipotezei. Poveikio dydžiai rodo mastą, o intervalai – tikslumą.

Atsakymas

C · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,34

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 166/6 = 27,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−5,667)² + (−13,67)² + 17,33² + 4,333² + 9,333² + (−11,67)² = 761,3

Standartinis nuokrypis

s = √(761,3/5) = 12,34

Atsakymas

s = 12,34

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Standartizuokite

z = (200 − 170)/20 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5177

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Atsakymas

P = 0,5177

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 10,54

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 2,6, Var(X) = 4,44, σ_X = 2,107

Tiesinis pokytis

σ_Y = |5|·2,107 = 10,54

Atsakymas

σ_Y = 10,54

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·2,6 − 3 = 10.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Standartizuokite

z = (1041 − 1020)/41,57 = 0,5

Tikimybė

P = Φ(0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 551 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Atsakymas

x = 551 h

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 99,81

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Paklaidos riba

E = 2,756·18,5/√30 = 9,309

Intervalas

90,5 ± 9,309 → [81,19, 99,81]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 99,81

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 5,329 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (5·5,5² + 5·2²)/10 = 17,13

s_p = 4,138

Paklaidos riba

E = 1,812·4,138·√(1/6 + 1/6) = 4,329

Intervalas

1 ± 4,329 → [−3,329, 5,329]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 5,329 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Testo statistika

t = (196,9 − 200)/1 = −3,1

Atsakymas

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 48

Išreikškite n

n = (2,576·8/3)² = 47,19

Apvalinkite aukštyn

n = 48

Atsakymas

n = 48

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9666

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1409 − 27·291/6 = 99,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 14719 − 291²/6 = 605,5

Koreliacijos koeficientas

r = 99,5/√(17,5·605,5) = 0,9666

Atsakymas

r = 0,9666

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 50,2

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 335/6 = 55,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197

Regresijos tiesė

b = 197/70 = 2,814

a = 55,83 − 2,814·23 = −8,895

ŷ = −8,895 + 2,814·x

Prognozė

ŷ = −8,895 + 2,814·21 = 50,2

Atsakymas

ŷ = 50,2

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,0873

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36

nerūkantieji: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30

Chi kvadrato statistika

χ² = (85 − 84)²/84 + (35 − 36)²/36 + (69 − 70)²/70 + (31 − 30)²/30

χ² = 0,0873

Atsakymas

χ² = 0,0873

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 7

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 − 1 = 7

Atsakymas

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology