Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Studentas surenka 130 taškų teste, kurio vidurkis 100, o standartinis nuokrypis 15. Koks jo z įvertis?

A3,0
B2,0
C1,5
D0,5

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Interpretacinė fenomenologinė analizė (IPA) daugiausia siekia:

ATikrinti priežastines hipotezes su didelėmis imtimis
BIštirti, kaip asmenys suvokia savo išgyventą patirtį
CSkaičiuoti žodžių dažnį tekstuose
DTiksliai matuoti reakcijos laiką

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 13, 17, 46, 41, 11, 42.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,1, 0,2, 0,2, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 8p = 0,2

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1292. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1292

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,2. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 100E₁ = 4,295%

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 19 sklypų, vidutinis derlius 78 kg, standartinis nuokrypis 9 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 9 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 19x̄₁ = 78s₁ = 9n₂ = 7x̄₂ = 85s₂ = 990%t(24) = 1,711

apatinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 57,88, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 57,88s = 15n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

81 matavimų imties vidurkis – 79,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 79,9σ = 20n = 8190%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, aukštas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 67stulpelio suma = 72N = 160

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 4

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · 2,0

Kodėl tai yra atsakymas

(130 − 100) / 15 = 2. Įvertis yra dviem standartiniais nuokrypiais virš vidurkio, didesnis nei maždaug 97–98% žmonių.

Atsakymas

B · 2,0

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Ištirti, kaip asmenys suvokia savo išgyventą patirtį

Kodėl tai yra atsakymas

IPA nuodugniai tiria mažas, homogeniškas imtis, nagrinėdama, kaip dalyviai interpretuoja reikšmingas patirtis, o tyrėjas interpretuoja jų prasmės kūrimą.

Atsakymas

B · Ištirti, kaip asmenys suvokia savo išgyventą patirtį

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,27

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 170/6 = 28,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−15,33)² + (−11,33)² + 17,67² + 12,67² + (−17,33)² + 13,67² = 1323

Standartinis nuokrypis

s = √(1323/5) = 16,27

Atsakymas

s = 16,27

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,513

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,7

Dispersija

Var(X) = 6,7 − 2,1² = 2,29

σ = √2,29 = 1,513

Atsakymas

σ = 1,513

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5033

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,8⁸ = 0,1678

P(X = 1) = 8·0,2·0,8⁷ = 0,3355

Sudėkite

P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033

Atsakymas

P = 0,5033

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,13

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1292 = 0,8708

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8708 ir nuskaitykite z.

z = 1,13

Atsakymas

z = 1,13

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 112,6 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 tšk.

Atsakymas

x = 112,62 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 3,196

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/100) = 0,7609

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,2·0,7609 = 3,196

Atsakymas

E₂ = 3,196

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −13,81 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (18·9² + 6·9²)/24 = 81

s_p = 9

Paklaidos riba

E = 1,711·9·√(1/19 + 1/7) = 6,809

Intervalas

−7 ± 6,809 → [−13,81, −0,1915]

Atsakymas

apatinis rėžis = −13,81 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,101

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Testo statistika

t = (57,88 − 50)/3,75 = 2,101

Atsakymas

t = 2,101

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 83,56

Paklaidos riba

E = 1,645·20/√81 = 3,656

Intervalo rėžis

U = 79,9 + 3,656 = 83,56

Atsakymas

U = 83,56

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9128

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 324/5 = 64,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 718,8

Determinacijos koeficientas

r² = 243²/(90·718,8) = 0,9128

Atsakymas

r² = 0,9128

Apie 91,28% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 20,95

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 91/5 = 18,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Regresijos tiesė

b = 110/40 = 2,75

a = 18,2 − 2,75·6 = 1,7

ŷ = 1,7 + 2,75·x

Prognozė

ŷ = 1,7 + 2,75·7 = 20,95

Atsakymas

ŷ = 20,95

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 30,15

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 67·72/160 = 30,15

Atsakymas

E = 30,15

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology