Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuri statistika tinka dviejų rangų rinkinių ryšiui, pvz., teisėjų paveikslų reitingams?

  1. AChi kvadratas
  2. BSpearmano rho
  3. CPearsono r
  4. DNepriklausomų imčių t testas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas nori parodyti, kad nauja nerimo skalė matuoja kažką kita nei depresija. Mažos koreliacijos su depresijos skale patvirtintų:

  1. APrognostinį validumą
  2. BKonvergentinį validumą
  3. CAkivaizdųjį validumą
  4. DDiskriminantinį validumą
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 50, 18, 40, 60, 48, 22, 12.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 30?

μ = 70σ = 20x = 30
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,310,3520,130,25μ = 1,3

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25
σ =
6.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,1: P(X = 4) = ?k0123456789101112

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 12p = 0,1k = 4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
4585,5P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 45 ir 85,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 85,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?5%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 20, s = 3LU = ?x̄ = 80E99%

20 elementų imties vidurkis – 80, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 20x̄ = 80s = 399%t(19) = 2,861
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 30E = 199%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,1312,131t = ?df = 15

16 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 7,03, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = 7,03sd = 9,7
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

100 matavimų imties vidurkis – 51,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 51,9σ = 12n = 10090%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy365474583690799xy4680100

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 25Σy = 411Σx² = 135Σy² = 34491Σxy = 2139
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy138335546746950xy535404550ŷ = 38

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 38?

n = 5ŷ = 38
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
taipneIš visovyrai154560moterys4872120Iš viso63117180

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 3 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Spearmano rho

Kodėl tai yra atsakymas

Spearmano rangų koreliacija matuoja monotoninio ryšio tarp dviejų ranguotų ar ranginių kintamųjų stiprumą.

Atsakymas

B · Spearmano rho
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Diskriminantinį validumą

Kodėl tai yra atsakymas

Diskriminantinis (divergentinis) validumas parodomas, kai matas silpnai koreliuoja su kitų konstruktų matais. Konvergentinis validumas yra stipri koreliacija su to paties konstrukto matais.

Atsakymas

D · Diskriminantinį validumą
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,38

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 250/7 = 35,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14,29² + (−17,71)² + 4,286² + 24,29² + 12,29² + (−13,71)² + (−23,71)² = 2027

Standartinis nuokrypis

s = √(2027/6) = 18,38

Atsakymas

s = 18,38
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772
5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,145

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,25 = 1,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,25 = 3

Dispersija

Var(X) = 3 − 1,3² = 1,31
σ = √1,31 = 1,145

Atsakymas

σ = 1,145
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,02131

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 495·0,14·0,98 = 495·0,0001·0,4305 = 0,02131

Atsakymas

P = 0,02131
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9571

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Plotas tarp

P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571

Atsakymas

P = 0,9571
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 434,2 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Atsakymas

x = 434,2 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 81,92

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Paklaidos riba

E = 2,861·3/√20 = 1,919

Intervalas

80 ± 1,919 → [78,08, 81,92]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 81,92
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 5973

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·30/1)² = 5972

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 5973

Atsakymas

n = 5973
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 9,7/√16 = 2,425

Testo statistika

t = 7,03/2,425 = 2,899

Atsakymas

t = 2,899

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 49,93

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√100 = 1,974

Intervalo rėžis

L = 51,9 − 1,974 = 49,93

Atsakymas

L = 49,93
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9992

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 2139 − 25·411/5 = 84
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 34491 − 411²/5 = 706,8

Koreliacijos koeficientas

r = 84/√(10·706,8) = 0,9992

Atsakymas

r = 0,9992
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,143

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 215/5 = 43

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Regresijos tiesė

b = 70/40 = 1,75
a = 43 − 1,75·5 = 34,25
ŷ = 34,25 + 1,75·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (38 − 34,25)/1,75 = 2,143

Atsakymas

x = 2,143
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 3,956

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 60·63/180 = 21, 60·117/180 = 39
moterys: 120·63/180 = 42, 120·117/180 = 78

Chi kvadrato statistika

χ² = (15 − 21)²/21 + (45 − 39)²/39 + (48 − 42)²/42 + (72 − 78)²/78
χ² = 3,956

Atsakymas

χ² = 3,956

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 9,21

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Lentelė

χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Atsakymas

χ²crit = 9,210

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology