Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Norėdamas gauti imtį su tomis pačiomis pirmo, antro ir trečio kurso studentų proporcijomis kaip universiteto populiacijoje, tyrėjas turėtų naudoti:

  1. ASavanorių atranką
  2. BSluoksninę atranką
  3. CPatogiąją atranką
  4. DSniego gniūžtės atranką
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

  1. APatvirtinama pradinė hipotezė
  2. BApklausta bent 1,000 dalyvių
  3. CGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
  4. DPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 57, 35, 35, 46, 26.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 88 z įvertį z.

μ = 100σ = 10x = 88
z =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,320,240,1560,35μ = 3,1

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−50,73150,252450,02

Žaidimo kaina yra €5. Laimite €20 su tikimybe 0,25 ir €250 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €5€20: p = 0,25€250: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
85,75130,75P = ?

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 85,75 ir 130,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 130,75
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?25%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 92,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 78,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 92,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 50x̄₂ = 78,5 hσ₂ = 14 h90%
viršutinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 30Lσ = ?s = 6,395%

30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.

n = 30s = 6,3 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 498,8, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,8s = 5n = 36
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −2,57602,576

36 matavimų imties vidurkis – 117,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 117,3σ = 20n = 3699%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy127224324418517619xy2462025

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy176020792382261082911732125xy202530100ŷ = 69

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 69?

n = 6ŷ = 69
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas103040placebas324880Iš viso4278120

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 4 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Sluoksninę atranką

Kodėl tai yra atsakymas

Sluoksninė atranka išskiria pogrupius (sluoksnius) ir atsitiktinai atrenka iš kiekvieno proporcingai jo dydžiui populiacijoje, todėl imtis tampa reprezentatyvesnė.

Atsakymas

B · Sluoksninę atranką
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 11,95

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 199/5 = 39,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 17,2² + (−4,8)² + (−4,8)² + 6,2² + (−13,8)² = 570,8

Standartinis nuokrypis

s = √(570,8/4) = 11,95

Atsakymas

s = 11,95
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (88 − 100)/10 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 6,19

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 2·0,2 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,2 + 16·0,15 + 36·0,35 = 15,8

Dispersija

Var(X) = 15,8 − 3,1² = 6,19

Atsakymas

Var(X) = 6,19
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 5 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 15 (p = 0,25), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 15·0,25 + 245·0,02 − 5·0,73 = 5 €

Atsakymas

E(G) = 5 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8088

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Plotas tarp

P = Φ(2,05) − Φ(−0,95) = 0,9798 − 0,1711 = 0,8088

Atsakymas

P = 0,8088
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 473 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Atsakymas

x = 473,02 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 17,64 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 92,5 − 78,5 = 14

Standartinė paklaida

SE = √(7²/50 + 14²/50) = 2,214

Paklaidos riba

E = 1,645·2,214 = 3,641

Intervalas

14 ± 3,641 → [10,36, 17,64]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 17,64 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 8,469 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 29·6,3² = 1151

σ² rėžiai

1151/45,722 = 25,17
1151/16,047 = 71,73

σ rėžis

σ = √71,73 = 8,469 µm

Atsakymas

σ = 8,469 µm

σ 95 % intervalas: [5,017, 8,469] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,44

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Testo statistika

t = (498,8 − 500)/0,8333 = −1,44

Atsakymas

t = −1,44
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 108,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·20/√36 = 8,587

Intervalo rėžis

L = 117,3 − 8,587 = 108,7

Atsakymas

L = 108,7
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,887

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 129/6 = 21,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 81,5

Koreliacijos koeficientas

r = −33,5/√(17,5·81,5) = −0,887

Atsakymas

r = −0,887
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 18,59

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 571/6 = 95,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 697,5

Regresijos tiesė

b = 697,5/157,5 = 4,429
a = 95,17 − 4,429·24,5 = −13,33
ŷ = −13,33 + 4,429·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (69 − (−13,33))/4,429 = 18,59

Atsakymas

x = 18,59
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,637

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 40·42/120 = 14, 40·78/120 = 26
placebas: 80·42/120 = 28, 80·78/120 = 52

Chi kvadrato statistika

χ² = (10 − 14)²/14 + (30 − 26)²/26 + (32 − 28)²/28 + (48 − 52)²/52
χ² = 2,637

Atsakymas

χ² = 2,637

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 12,59

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Lentelė

χ²crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Atsakymas

χ²crit = 12,592

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology