Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Dalijimo pusiau (split-half) patikimumas apima:
- ADviejų imties pusių testavimą skirtingu laiku
- BDviejų stebėtojų naudojimą po pusę sesijų
- CImties padalijimą į eksperimentinę ir kontrolinę grupes ir jų įverčių palyginimą
- DTo paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Vienfaktorė ANOVA, lyginanti keturias grupes, yra reikšminga. Ką tyrėjas turėtų daryti toliau, kad nustatytų, kurios grupės skiriasi?
- ADaryti išvadą, kad visos keturios grupės skiriasi viena nuo kitos
- BAtlikti vidurkių chi kvadrato testą
- CRezultatą pateikti kaip koreliaciją
- DAtlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 28, 37, 38, 38, 58.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 85?
μ = 100σ = 10x = 85
P =
5.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 8
P =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,1, 0,05Y = 5X + 4
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,4245. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,4245
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 70 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm70%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 67,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 61,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 5 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n₁ = 30x̄₁ = 67,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 61,5 hσ₂ = 5 h90%
E = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?
p = 0,5E = 0,0195%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,75, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,75s = 10n = 64
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 10. Iš tikrųjų vidurkis lygus 47. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 47σ = 10n = 100α = 0,10
1 − β = %
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 21Σy = 231Σx² = 91Σy² = 9005Σxy = 851
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 19)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, aukštas“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 96stulpelio suma = 81N = 212
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 7 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · To paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti
Kodėl tai yra atsakymas
Jei abi pusės matuoja tą patį konstruktą, jų įverčiai turėtų stipriai koreliuoti. Cronbacho alfa šią idėją išplečia visiems galimiems padalijimams.
Atsakymas
D · To paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
Kodėl tai yra atsakymas
Reikšmingas F rodo, kad ne visi vidurkiai lygūs. Post hoc testai ar planuoti kontrastai nustato, kurios poros skiriasi, kontroliuojant klaidų lygį.
Atsakymas
D · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 9,913
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 236/6 = 39,33
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−2,333)² + (−11,33)² + (−2,333)² + (−1,333)² + (−1,333)² + 18,67² = 491,3
Standartinis nuokrypis
s = √(491,3/5) = 9,913
Atsakymas
s = 9,913
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,9332
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,7674
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Atsakymas
P = 0,7674
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 5,831
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,2, Var(X) = 1,36, σX = 1,166
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,166 = 5,831
Atsakymas
σY = 5,831
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·2,2 + 4 = 15.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,56
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,4245)/2 = 0,7123
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,7123 ir nuskaitykite z.
z = 0,56
Atsakymas
z = 0,56
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 174,4 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,3
z iš lentelės
z ≈ −0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm
Atsakymas
x = 174,4 cm
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,405 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 67,5 − 61,5 = 6
Standartinė paklaida
SE = √(11²/30 + 5²/100) = 2,07
Paklaidos riba
E = 1,645·2,07 = 3,405
Atsakymas
E = 3,405 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604
Apvalinkite aukštyn
n = 9604
Atsakymas
n = 9604
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,6
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Testo statistika
t = (71,75 − 75)/1,25 = −2,6
Atsakymas
t = −2,6
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 95,71 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 50 − 1,282·1 = 48,72
z esant tikrajam vidurkiui
z = (48,72 − 47)/1 = 1,718
Galia
galia = P(Z < 1.718) = 95.71%
1 − β = 95,71%
Atsakymas
1 − β = 95,71%
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9621
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 851 − 21·231/6 = 42,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 9005 − 231²/6 = 111,5
Koreliacijos koeficientas
r = 42,5/√(17,5·111,5) = 0,9621
Atsakymas
r = 0,9621
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 3,95
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Regresijos tiesė
b = −29/10 = −2,9
a = 19,4 − (−2,9)·3 = 28,1
ŷ = 28,1 − 2,9·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 28,1 + (−2,9)·4,5 = 15,05
Liekana
e = 19 − 15,05 = 3,95
Atsakymas
e = 3,95
Taškas yra virš tiesės.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 36,68
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 96·81/212 = 36,68
Atsakymas
E = 36,68
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 16,81
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 7 − 1 = 6
Lentelė
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Atsakymas
χ²crit = 16,812
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology