Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Testas toks lengvas, kad beveik visi dalyviai surenka beveik maksimumą. Tai vadinama:
- APraktikos efektu
- BGrindų efektu
- CLubų efektu
- DEiliškumo efektu
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
„Replikacijos krizė" psichologijoje reiškia:
- AKad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
- BKlausimynų kopijavimą be leidimo
- CDalyvių eksperimentams trūkumą
- DTai, kad įstatymas įpareigoja žurnalus atmesti visus pateiktus replikacijos tyrimus
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 39, 24, 20, 60.
n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 593,8?
μ = 500σ = 75x = 593,8
P =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €4 su tikimybe 0,2 ir €100 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€4: p = 0,2€100: p = 0,05
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 178,35 ir 188,85 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 188,85
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
21 elementų imties vidurkis – 105, standartinis nuokrypis s = 16. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 21x̄ = 105s = 1690%t(20) = 1,725
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 13,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 9 sklypų, vidurkis 20 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 5x̄₁ = 13,5s₁ = 2,5n₂ = 9x̄₂ = 20s₂ = 9,595%t(12) = 2,179
viršutinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
11 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −3,09, o skirtumų standartinis nuokrypis 11,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −3,09sd = 11,4
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 198,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 198,3σ = 8n = 4995%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 54). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 54)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1402 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?
2 × 6
df =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Lubų efektu
Kodėl tai yra atsakymas
Lubų efektai paslepia sąlygų skirtumus, nes niekas negali surinkti daugiau. Grindų efektai yra priešingybė, kai užduotis per sunki.
Atsakymas
C · Lubų efektu
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
Kodėl tai yra atsakymas
Dideli replikacijos projektai nustatė, kad daugelis poveikių yra mažesni arba jų nėra; tai susiję su publikavimo šališkumu, mažomis imtimis ir lanksčia analize. Vienas iš atsakų – išankstinė registracija.
Atsakymas
A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,7
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 180/5 = 36
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 1² + 3² + (−12)² + (−16)² + 24² = 986
Standartinis nuokrypis
s = √(986/4) = 15,7
Atsakymas
s = 15,7
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,1056
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Atsakymas
P = 0,1056
5.Tikimybė
Atsakymas: σ = 0,8367
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Dispersija
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Atsakymas
σ = 0,8367
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 3,8 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,2), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,2 + 98·0,05 − 2·0,75 = 3,8 €
Atsakymas
E(G) = 3,8 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4195
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Plotas tarp
P = Φ(1,55) − Φ(0,05) = 0,9394 − 0,5199 = 0,4195
Atsakymas
P = 0,4195
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 176,3 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,4
z iš lentelės
z ≈ −0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
Atsakymas
x = 176,3 cm
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 111
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Paklaidos riba
E = 1,725·16/√21 = 6,023
Intervalas
105 ± 6,023 → [98,98, 111]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 111
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 3,089 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·2,5² + 8·9,5²)/12 = 62,25
sp = 7,89
Paklaidos riba
E = 2,179·7,89·√(1/5 + 1/9) = 9,589
Intervalas
−6,5 ± 9,589 → [−16,09, 3,089]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 3,089 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,899
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 11,4/√11 = 3,437
Testo statistika
t = −3,09/3,437 = −0,899
Atsakymas
t = −0,899
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 200,5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·8/√49 = 2,24
Intervalo rėžis
U = 198,3 + 2,24 = 200,5
Atsakymas
U = 200,5
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9792
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 402/6 = 67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1168
Koreliacijos koeficientas
r = 280/√(70·1168) = 0,9792
Atsakymas
r = 0,9792
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,343
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 360/6 = 60
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73
Regresijos tiesė
b = 73/17,5 = 4,171
a = 60 − 4,171·3,5 = 45,4
ŷ = 45,4 + 4,171·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 45,4 + 4,171·1,5 = 51,66
Liekana
e = 54 − 51,66 = 2,343
Atsakymas
e = 2,343
Taškas yra virš tiesės.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 9,545
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
rūkantieji: 80·63/140 = 36, 80·77/140 = 44
nerūkantieji: 60·63/140 = 27, 60·77/140 = 33
Chi kvadrato statistika
χ² = (27 − 36)²/36 + (53 − 44)²/44 + (36 − 27)²/27 + (24 − 33)²/33
χ² = 9,545
Atsakymas
χ² = 9,545
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: df = 5
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Atsakymas
df = 5
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology