Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Studentas surenka 130 taškų teste, kurio vidurkis 100, o standartinis nuokrypis 15. Koks jo z įvertis?

  1. A1,5
  2. B0,5
  3. C2,0
  4. D3,0
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Fizinis aktyvumas mažina depresiją, o poveikis atsiranda todėl, kad aktyvumas gerina miegą, o šis savo ruožtu mažina depresiją. Miegą geriausia apibūdinti kaip:

  1. AMediatorių
  2. BKontroliuojamąjį kintamąjį
  3. CPašalinį kintamąjį
  4. DModeratorių
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
2025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 26, 58, 19, 25, 23.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 30?

μ = 50σ = 20x = 30
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,1510,3520,130,240,2μ = 1,95

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,1, 0,2, 0,2
σ =
6.TikimybėSunkus
n = 9, p = 0,25: P(X = 1) = ?k0123456789

Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 9p = 0,25k = 1
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
27,242,8P = ?

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 27,2 ir 42,8 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x1 = 27,2x2 = 42,8
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gapačia 80%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 9, s = 11,5LU = ?x̄ = 115E99%

9 elementų imties vidurkis – 115, standartinis nuokrypis s = 11,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 9x̄ = 115s = 11,599%t(8) = 3,355
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 25Lσ = ?s = 10,895%

25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 10,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.

n = 25s = 10,8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,3652,365t = ?df = 7

8 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 0,7, o skirtumų standartinis nuokrypis 1,8. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 8d̄ = 0,7sd = 1,8
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

64 matavimų imties vidurkis – 120,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 120,8σ = 8n = 6495%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1242203184155967xy2461020

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy1457166218782087229224111xy1520256080100x = 15

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 15.

n = 6x = 15
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
žemasvidutinisaukštasIš visomiesto155431100kaimo623240Iš viso215663140

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · 2,0

Kodėl tai yra atsakymas

(130 − 100) / 15 = 2. Įvertis yra dviem standartiniais nuokrypiais virš vidurkio, didesnis nei maždaug 97–98% žmonių.

Atsakymas

C · 2,0
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Mediatorių

Kodėl tai yra atsakymas

Mediatorius yra priežastiniame kelyje tarp prediktoriaus ir rezultato ir paaiškina, kaip ar kodėl atsiranda poveikis.

Atsakymas

A · Mediatorių
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,77

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 151/5 = 30,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−4,2)² + 27,8² + (−11,2)² + (−5,2)² + (−7,2)² = 994,8

Standartinis nuokrypis

s = √(994,8/4) = 15,77

Atsakymas

s = 15,77
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,396

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,2 = 1,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,2 = 5,75

Dispersija

Var(X) = 5,75 − 1,95² = 1,947
σ = √1,947 = 1,396

Atsakymas

σ = 1,396
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2253

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 1) = 9·0,251·0,758 = 9·0,25·0,1001 = 0,2253

Atsakymas

P = 0,2253
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7522

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8

Plotas tarp

P = Φ(1,8) − Φ(−0,8) = 0,9641 − 0,2119 = 0,7522

Atsakymas

P = 0,7522
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 254,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,8

z iš lentelės

z ≈ 0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Atsakymas

x = 254,2 g
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 127,9

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Paklaidos riba

E = 3,355·11,5/√9 = 12,86

Intervalas

115 ± 12,86 → [102,1, 127,9]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 127,9
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 15,02 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 24·10,8² = 2799

σ² rėžiai

2799/39,364 = 71,11
2799/12,401 = 225,7

σ rėžis

σ = √225,7 = 15,02 µm

Atsakymas

σ = 15,02 µm

σ 95 % intervalas: [8,433, 15,02] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,1

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 1,8/√8 = 0,6364

Testo statistika

t = 0,7/0,6364 = 1,1

Atsakymas

t = 1,1

Kai df = 7, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,365; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 118,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·8/√64 = 1,96

Intervalo rėžis

L = 120,8 − 1,96 = 118,8

Atsakymas

L = 118,8
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9898

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 93/6 = 15,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 213,5

Koreliacijos koeficientas

r = −60,5/√(17,5·213,5) = −0,9898

Atsakymas

r = −0,9898
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 60,08

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 487/6 = 81,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

Regresijos tiesė

b = 369/70 = 5,271
a = 81,17 − 5,271·19 = −18,99
ŷ = −18,99 + 5,271·x

Prognozė

ŷ = −18,99 + 5,271·15 = 60,08

Atsakymas

ŷ = 60,08
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 32,39

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45
kaimo: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

Chi kvadrato statistika

χ² = (15 − 15)²/15 + (54 − 40)²/40 + (31 − 45)²/45 + (6 − 6)²/6 + (2 − 16)²/16 + (32 − 18)²/18
χ² = 32,39

Atsakymas

χ² = 32,39

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 8

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Atsakymas

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology