Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

ANaudoja netinkamą statistinį testą
BNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
CSurenka per daug duomenų
DAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Savianalizės skalėje paaiškėja, kad žmonės, sutinkantys su daugeliu teiginių, surenka daug taškų nepriklausomai nuo turinio. Koks tai atsakymų šališkumas ir kaip jį galima sumažinti?

AEiliškumo efektai; kontrabalansuoti dalyvius
BSocialinio pageidaujamumo šališkumas; naudoti didesnę imtį
CPritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus
DUžduoties reikalavimų požymiai; naudoti dvigubo aklumo planą

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 15, 33, 13, 13, 53, 43, 10.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 158?

μ = 170σ = 15x = 158

P =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 11 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 11k = 2

N =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,3, 0,3Y = 3X − 3

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9762. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9762

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 139,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 143,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 139,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 143,5 hσ₂ = 6 h90%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 34. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 34E = 499%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 15 studentų, vidutinis rezultatas 104, standartinis nuokrypis 10. 2 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 113, standartinis nuokrypis 6,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 15x̄₁ = 104s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 113s₂ = 6,5

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 101,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 101,4σ = 5n = 6495%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 76?

n = 6ŷ = 76

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, autobusas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 98stulpelio suma = 33N = 128

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

D · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

Kodėl tai yra atsakymas

Pritarimas yra polinkis sutikti su punktais. Sumaišius teigiamai ir neigiamai suformuluotus punktus, sutikimas su viskuo nebeduoda kraštutinio įverčio.

Atsakymas

C · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,23

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 180/7 = 25,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,71)² + 7,286² + (−12,71)² + (−12,71)² + 27,29² + 17,29² + (−15,71)² = 1781

Standartinis nuokrypis

s = √(1781/6) = 17,23

Atsakymas

s = 17,23

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 55

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Atsakymas

N = 55

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 37,32

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 25,5, Var(X) = 154,8, σ_X = 12,44

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·12,44 = 37,32

Atsakymas

σ_Y = 37,32

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·25,5 − 3 = 73,5.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,26

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9762)/2 = 0,9881

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9881 ir nuskaitykite z.

z = 2,26

Atsakymas

z = 2,26

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,983

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Tikimybė

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Atsakymas

P = 0,983

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −6,129 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 139,5 − 143,5 = −4

Standartinė paklaida

SE = √(7²/40 + 6²/80) = 1,294

Paklaidos riba

E = 1,645·1,294 = 2,129

Intervalas

−4 ± 2,129 → [−6,129, −1,871]

Atsakymas

apatinis rėžis = −6,129 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 480

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·34/4)² = 479,4

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 480

Atsakymas

n = 480

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,602

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (14·10² + 10·6,5²)/24 = 75,94

s_p = 8,714

Standartinė paklaida

SE = 8,714·√(1/15 + 1/11) = 3,459

Testo statistika

t = (104 − 113)/3,459 = −2,602

Atsakymas

t = −2,602

Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 100,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√64 = 1,225

Intervalo rėžis

L = 101,4 − 1,225 = 100,2

Atsakymas

L = 100,2

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9984

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 135/6 = 22,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 725,5

Koreliacijos koeficientas

r = 225/√(70·725,5) = 0,9984

Atsakymas

r = 0,9984

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 21,54

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 524/6 = 87,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 603

Regresijos tiesė

b = 603/157,5 = 3,829

a = 87,33 − 3,829·24,5 = −6,467

ŷ = −6,467 + 3,829·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (76 − (−6,467))/3,829 = 21,54

Atsakymas

x = 21,54

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 25,27

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 98·33/128 = 25,27

Atsakymas

E = 25,27

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 11,94

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 42, 18

amžius 31–50: 70, 30

amžius 51+: 70, 30

Chi kvadrato statistika

χ² = (49 − 42)²/42 + (11 − 18)²/18 + (75 − 70)²/70 + (25 − 30)²/30 + (58 − 70)²/70 + (42 − 30)²/30

χ² = 11,94

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

11,94 > 5,991

Atsakymas

χ² = 11,94

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology