Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Ekspertai tikrina, ar matematikos egzamino punktai apima visas programos temas. Tai vertina:
- AEkologinį validumą
- BPrognostinį validumą
- CTesto ir pakartotinio testo patikimumą
- DTurinio validumą
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas manipuliuoja nuotaika rodydamas liūdną filmą, o prieš pagrindinę užduotį prašo dalyvių įvertinti, kaip liūdnai jie jaučiasi. Kodėl įtrauktas šis vertinimas?
- AKaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
- BDalyviams paaiškinti tyrimo tikslus
- CKaip pagrindinis tyrimo priklausomasis kintamasis
- DSąlygų eiliškumui kontrabalansuoti
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 57, 59, 52, 53, 21, 48.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 96?
μ = 100σ = 5x = 96
P =
5.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 4 raudoni ir 9 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
4 / 9
P =
6.TikimybėSunkus
Tikrinami 12 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 12p = 0,6
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 223,5 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 223.5 kg
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
30 elementų imties vidurkis – 94,5, standartinis nuokrypis s = 9,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 30x̄ = 94,5s = 9,595%t(29) = 2,045
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 5,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 5,3 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,4, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,4s = 8n = 16
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 115,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 115,7σ = 15n = 6495%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 120Σy = 605Σx² = 2470Σy² = 62893Σxy = 12457
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 54?
n = 6ŷ = 54
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Turinio validumą
Kodėl tai yra atsakymas
Turinio validumas yra tai, kiek matas apima visus svarbius konstrukto aspektus; paprastai jį vertina ekspertai.
Atsakymas
D · Turinio validumą
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
Kodėl tai yra atsakymas
Manipuliacijos patikra patikrina, ar NK sukėlė numatytą psichologinę būseną. Be jos nulinis rezultatas galėtų reikšti, kad manipuliacija nepavyko.
Atsakymas
A · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,94
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 290/6 = 48,33
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 8,667² + 10,67² + 3,667² + 4,667² + (−27,33)² + (−0,3333)² = 971,3
Standartinis nuokrypis
s = √(971,3/5) = 13,94
Atsakymas
s = 13,94
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,7881
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,07692
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692
Atsakymas
P = 0,07692
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,0003188
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,412 = 1,678 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 12·0,6·0,411 = 0,000302
Sudėkite
P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188
Atsakymas
P = 0,0003188
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Standartizuokite
z = (223,5 − 225)/1,5 = −1
Tikimybė
P = Φ(−1) = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 52,18 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Atgal į x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 tšk.
Atsakymas
x = 52,18 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,547
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Paklaidos riba
E = 2,045·9,5/√30 = 3,547
Atsakymas
E = 3,547
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 4,055 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·5,3² = 561,8
σ² rėžiai
561,8/34,17 = 16,44
561,8/9,591 = 58,58
σ rėžis
σ = √16,44 = 4,055 µm
Atsakymas
σ = 4,055 µm
σ 95 % intervalas: [4,055, 7,653] µm.
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Testo statistika
t = (122,4 − 120)/2 = 1,2
Atsakymas
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 119,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·15/√64 = 3,675
Intervalo rėžis
U = 115,7 + 3,675 = 119,4
Atsakymas
U = 119,4
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9818
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 12457 − 120·605/6 = 357
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 62893 − 605²/6 = 1889
Koreliacijos koeficientas
r = 357/√(70·1889) = 0,9818
Atsakymas
r = 0,9818
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 2,471
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 366/6 = 61
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119
Regresijos tiesė
b = 119/17,5 = 6,8
a = 61 − 6,8·3,5 = 37,2
ŷ = 37,2 + 6,8·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (54 − 37,2)/6,8 = 2,471
Atsakymas
x = 2,471
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 3,175
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
vyrai: 60·48/160 = 18, 60·112/160 = 42
moterys: 100·48/160 = 30, 100·112/160 = 70
Chi kvadrato statistika
χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (25 − 30)²/30 + (75 − 70)²/70
χ² = 3,175
Atsakymas
χ² = 3,175
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 0,8333
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
gamykla A: 24, 16
gamykla B: 60, 40
gamykla C: 60, 40
Chi kvadrato statistika
χ² = (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (61 − 60)²/60 + (39 − 40)²/40 + (57 − 60)²/60 + (43 − 40)²/40
χ² = 0,8333
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 5,991
0,8333 < 5,991
Atsakymas
χ² = 0,8333
χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology