Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrėjas nori patikrinti, ar yra sąsaja tarp lyties (vyras / moteris) ir mėgstamo filmų žanro (keturios kategorijos). Kuris testas tinkamas?

APorinis t testas
BPearsono koreliacija
CVienfaktorė ANOVA
DChi kvadrato nepriklausomumo testas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

2 × 3 faktorinė ANOVA rodo, kad vaistas gerina atmintį jauniems suaugusiesiems, bet ne vyresniems. Kas nustatyta?

ATik pagrindinis amžiaus poveikis
BVaisto ir amžiaus sąveika
CGrindų efektas
DI tipo klaida

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 40, 53, 11, 60.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 72 z įvertį z.

μ = 60σ = 8x = 72

z =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 13 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 13k = 5

N =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 5 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 5p = 0,5k = 1

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,8810. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,8810

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 101,5, standartinis nuokrypis s = 15. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 11x̄ = 101,5s = 1599%t(10) = 3,169

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 38. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 38E = 2,590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 497,8, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 5n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 matavimų imties vidurkis – 491,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 491,5σ = 20n = 1699%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 122Σx² = 91Σy² = 2562Σxy = 390

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Chi kvadrato nepriklausomumo testas

Kodėl tai yra atsakymas

Chi kvadrato testas lygina stebimus ir tikėtinus dažnius kryžminėje lentelėje, kad patikrintų, ar du kategoriniai kintamieji susiję.

Atsakymas

D · Chi kvadrato nepriklausomumo testas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Vaisto ir amžiaus sąveika

Kodėl tai yra atsakymas

Sąveika yra tada, kai vieno veiksnio poveikis skiriasi skirtingais kito veiksnio lygmenimis. Čia vaisto poveikis priklauso nuo amžiaus grupės.

Atsakymas

B · Vaisto ir amžiaus sąveika

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,77

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 219/5 = 43,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 11,2² + (−3,8)² + 9,2² + (−32,8)² + 16,2² = 1563

Standartinis nuokrypis

s = √(1563/4) = 19,77

Atsakymas

s = 19,77

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Standartizuokite

z = (72 − 60)/8 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 1287

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Atsakymas

N = 1287

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1563

Binominė formulė

P(X = 1) = 5·0,5¹·0,5⁴ = 5·0,5·0,0625 = 0,1563

Atsakymas

P = 0,1563

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −1,18

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,8810 = 0,1190

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,1190 ir nuskaitykite z.

z = −1,18

Atsakymas

z = −1,18

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 71,75 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 tšk.

Atsakymas

x = 71,75 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 87,17

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·15/√11 = 14,33

Intervalas

101,5 ± 14,33 → [87,17, 115,8]

Atsakymas

apatinis rėžis = 87,17

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 626

Išreikškite n

n = (1,645·38/2,5)² = 625,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 626

Atsakymas

n = 626

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,76

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Testo statistika

t = (497,8 − 500)/1,25 = −1,76

Atsakymas

t = −1,76

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 478,6

Paklaidos riba

E = 2,576·20/√16 = 12,88

Intervalo rėžis

L = 491,5 − 12,88 = 478,6

Atsakymas

L = 478,6

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9807

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 390 − 21·122/6 = −37

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2562 − 122²/6 = 81,33

Koreliacijos koeficientas

r = −37/√(17,5·81,33) = −0,9807

Atsakymas

r = −0,9807

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 76,97

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 397/6 = 66,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94,5

Regresijos tiesė

b = 94,5/17,5 = 5,4

a = 66,17 − 5,4·3,5 = 47,27

ŷ = 47,27 + 5,4·x

Prognozė

ŷ = 47,27 + 5,4·5,5 = 76,97

Atsakymas

ŷ = 76,97

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 7,031

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72

nerūkantieji: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48

Chi kvadrato statistika

χ² = (57 − 48)²/48 + (63 − 72)²/72 + (23 − 32)²/32 + (57 − 48)²/48

χ² = 7,031

Atsakymas

χ² = 7,031

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 11,07

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Lentelė

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Atsakymas

χ²_crit = 11,070

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology