Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Vidinis validumas reiškia:

AAr stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai
BAr testas laikui bėgant duoda tuos pačius rezultatus
CAr dalyviams tyrimas buvo įdomus
DAr rezultatai tinka už tyrimo ribų kitoms populiacijoms, aplinkoms ir laikotarpiams

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

2 × 3 faktorinė ANOVA rodo, kad vaistas gerina atmintį jauniems suaugusiesiems, bet ne vyresniems. Kas nustatyta?

ATik pagrindinis amžiaus poveikis
BI tipo klaida
CVaisto ir amžiaus sąveika
DGrindų efektas

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 22, 57, 52, 47, 32.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Raskite rezultato 487,5 z įvertį z.

μ = 500σ = 25x = 487,5

z =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 10k = 2

N =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 10 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 10p = 0,5

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 60 ir 77,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 77,5

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 94 h, žinomas standartinis nuokrypis 12 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 80 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 94 hσ₁ = 12 hn₂ = 60x̄₂ = 80 hσ₂ = 10 h90%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 0,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.

n = 10s = 0,5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 502,06. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 500σ = 12n = 144x̄ = 502,06H₁: μ > μ₀

p =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 13. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 95%δ = 2,5σ = 13z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 33Σy = 262Σx² = 199Σy² = 11750Σxy = 1511

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, vidutinis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 110stulpelio suma = 69N = 166

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 4 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 4

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

Kodėl tai yra atsakymas

Didelis vidinis validumas reiškia, kad alternatyvūs paaiškinimai, pvz., painiojantys veiksniai, užduoties reikalavimų požymiai ar eksperimentatoriaus šališkumas, atmesti. Išorinis validumas susijęs su apibendrinimu.

Atsakymas

A · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Vaisto ir amžiaus sąveika

Kodėl tai yra atsakymas

Sąveika yra tada, kai vieno veiksnio poveikis skiriasi skirtingais kito veiksnio lygmenimis. Čia vaisto poveikis priklauso nuo amžiaus grupės.

Atsakymas

C · Vaisto ir amžiaus sąveika

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,58

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 210/5 = 42

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 15² + 10² + 5² + (−10)² = 850

Standartinis nuokrypis

s = √(850/4) = 14,58

Atsakymas

s = 14,58

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,5

Standartizuokite

z = (487,5 − 500)/25 = −0,5

Atsakymas

z = −0,5

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 45

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Atsakymas

N = 45

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,01074

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Sudėkite

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Atsakymas

P = 0,01074

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5858

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858

Atsakymas

P = 0,5858

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 191,7 cm

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Atsakymas

x = 191,72 cm

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 10,68 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 94 − 80 = 14

Standartinė paklaida

SE = √(12²/60 + 10²/60) = 2,017

Paklaidos riba

E = 1,645·2,017 = 3,317

Intervalas

14 ± 3,317 → [10,68, 17,32]

Atsakymas

apatinis rėžis = 10,68 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 0,9129 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 9·0,5² = 2,25

σ² rėžiai

2,25/19,023 = 0,1183

2,25/2,7 = 0,8333

σ rėžis

σ = √0,8333 = 0,9129 µm

Atsakymas

σ = 0,9129 µm

σ 95 % intervalas: [0,3439, 0,9129] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,0197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (502,06 − 500)/1 = 2,06

Uodegos plotas

Φ(2,06) = 0,9803

1 − Φ(2,06) = 0,0197

p reikšmė

p = 0,0197

Atsakymas

p = 0,0197

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 293

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,645)·13/2,5)² = 292,7

Apvalinkite aukštyn

n = 293

Atsakymas

n = 293

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9514

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1511 − 33·262/6 = 70

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 11750 − 262²/6 = 309,3

Koreliacijos koeficientas

r = 70/√(17,5·309,3) = 0,9514

Atsakymas

r = 0,9514

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 62,63

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 431/6 = 71,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5

Regresijos tiesė

b = 80,5/17,5 = 4,6

a = 71,83 − 4,6·5,5 = 46,53

ŷ = 46,53 + 4,6·x

Prognozė

ŷ = 46,53 + 4,6·3,5 = 62,63

Atsakymas

ŷ = 62,63

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 45,72

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 110·69/166 = 45,72

Atsakymas

E = 45,72

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology