Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Norėdamas gauti imtį su tomis pačiomis pirmo, antro ir trečio kurso studentų proporcijomis kaip universiteto populiacijoje, tyrėjas turėtų naudoti:

APatogiąją atranką
BSluoksninę atranką
CSavanorių atranką
DSniego gniūžtės atranką

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Du stebėtojai žaidimų aikštelėje registruoja agresyvius veiksmus, ir jų skaičiai koreliuoja r = 0,45. Ką turėtų daryti tyrėjas?

APatikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
BPereiti prie vienpusės hipotezės
CNaudoti tik didesnįjį iš dviejų skaičių
DPriimti duomenis, nes pakanka bet kokios teigiamos koreliacijos

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 25, 21, 49, 35, 18, 20.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 95?

μ = 70σ = 20x = 95

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,05, 0,25, 0,3

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 199,8 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −1,5, o standartinis nuokrypis 4. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 10d̄ = −1,5s_d = 490%t(9) = 1,833

E = mmHg

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?

p = 0,5E = 0,0190%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 123,2, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,2s = 10n = 81

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 9. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 4σ = 9z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 114Σy = 351Σx² = 2236Σy² = 21397Σxy = 6896

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 72?

n = 5ŷ = 72

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, vidutinis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 41stulpelio suma = 30N = 129

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 8 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Sluoksninę atranką

Kodėl tai yra atsakymas

Sluoksninė atranka išskiria pogrupius (sluoksnius) ir atsitiktinai atrenka iš kiekvieno proporcingai jo dydžiui populiacijoje, todėl imtis tampa reprezentatyvesnė.

Atsakymas

B · Sluoksninę atranką

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

Kodėl tai yra atsakymas

Mažas stebėtojų tarpusavio patikimumas reiškia, kad kategorijos taikomos nenuosekliai. Aiškesni operaciniai apibrėžimai ir treniruotės turėtų padidinti sutarimą prieš pagrindinį duomenų rinkimą.

Atsakymas

A · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 11,21

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 203/7 = 29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6² + (−4)² + (−8)² + 20² + 6² + (−11)² + (−9)² = 754

Standartinis nuokrypis

s = √(754/6) = 11,21

Atsakymas

s = 11,21

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1056

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Atsakymas

P = 0,1056

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,21

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,3 = 7,5

Dispersija

Var(X) = 7,5 − 2,3² = 2,21

Atsakymas

Var(X) = 2,21

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,458

X sklaida

μ = 1,3, Var(X) = 1,51, σ_X = 1,229

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·1,229 = 2,458

Atsakymas

σ_Y = 2,458

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,3 + 10 = 12,6.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6554

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 2,319 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 9, t = 1,833

Paklaidos riba

E = 1,833·4/√10 = 2,319

Atsakymas

E = 2,319 mmHg

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

Apvalinkite aukštyn

n = 6766

Atsakymas

n = 6766

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,88

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Testo statistika

t = (123,2 − 120)/1,111 = 2,88

Atsakymas

t = 2,88

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 51

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·9/4)² = 50,81

Apvalinkite aukštyn

n = 51

Atsakymas

n = 51

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9233

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 6896 − 114·351/6 = 227

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 21397 − 351²/6 = 863,5

Koreliacijos koeficientas

r = 227/√(70·863,5) = 0,9233

Atsakymas

r = 0,9233

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 8,013

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 341/5 = 68,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

Regresijos tiesė

b = 150/40 = 3,75

a = 68,2 − 3,75·7 = 41,95

ŷ = 41,95 + 3,75·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (72 − 41,95)/3,75 = 8,013

Atsakymas

x = 8,013

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 9,535

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 41·30/129 = 9,535

Atsakymas

E = 9,535

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 16,81

Laisvės laipsniai

df = 8 − 1 − 1 = 6

Lentelė

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Atsakymas

χ²_crit = 16,812

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology