Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Kuri statistika tinka dviejų rangų rinkinių ryšiui, pvz., teisėjų paveikslų reitingams?
- ASpearmano rho
- BPearsono r
- CChi kvadratas
- DNepriklausomų imčių t testas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
„Intelekto“ testas daugiausia matuoja, kaip greitai žmonės spausdina. Kurio validumo tipo akivaizdžiausiai trūksta?
- AVertintojų tarpusavio patikimumo
- BTesto ir pakartotinio testo patikimumo
- CKonstrukto validumo
- DVidinio suderinamumo
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 54, 36, 60, 38, 39, 30.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 100. Raskite rezultato 600 z įvertį z.
μ = 500σ = 100x = 600
z =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15
σ =
6.TikimybėSunkus
Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 9p = 0,4k = 1
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 10 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 925,9 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 925.9 kg
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 120 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 113,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 120 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 113,5 hσ₂ = 9 h99%
apatinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 13 sklypų, vidutinis derlius 45 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 42,5 kg, standartinis nuokrypis 3 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 13x̄₁ = 45s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 42,5s₂ = 395%t(19) = 2,093
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 77,32, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,32s = 4n = 25
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 51,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 51,8σ = 5n = 4990%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 42Σy = 136Σx² = 364Σy² = 3774Σxy = 1170
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 21). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 21)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2603 × 2α = 0,05
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Spearmano rho
Kodėl tai yra atsakymas
Spearmano rangų koreliacija matuoja monotoninio ryšio tarp dviejų ranguotų ar ranginių kintamųjų stiprumą.
Atsakymas
A · Spearmano rho
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Konstrukto validumo
Kodėl tai yra atsakymas
Konstrukto validumas – ar matas iš tikrųjų atspindi pagrindinį konstruktą. Testas gali būti patikimas, nors matuoja ne tai.
Atsakymas
C · Konstrukto validumo
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,57
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 257/6 = 42,83
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 11,17² + (−6,833)² + 17,17² + (−4,833)² + (−3,833)² + (−12,83)² = 668,8
Standartinis nuokrypis
s = √(668,8/5) = 11,57
Atsakymas
s = 11,57
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (600 − 500)/100 = 1
Atsakymas
z = 1
5.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,043
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,15 = 2,25
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,15 = 6,15
Dispersija
Var(X) = 6,15 − 2,25² = 1,088
σ = √1,088 = 1,043
Atsakymas
σ = 1,043
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,06047
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 1) = 9·0,41·0,68 = 9·0,4·0,0168 = 0,06047
Atsakymas
P = 0,06047
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9772
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37,95 kg
Standartizuokite
z = (925,9 − 850)/37,95 = 2
Tikimybė
P = Φ(2) = 0,9772
Atsakymas
P = 0,9772
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartizuokite
z = (0 − 10)/10 = −1
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 3,216 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 120 − 113,5 = 6,5
Standartinė paklaida
SE = √(7²/80 + 9²/80) = 1,275
Paklaidos riba
E = 2,576·1,275 = 3,284
Intervalas
6,5 ± 3,284 → [3,216, 9,784]
Atsakymas
apatinis rėžis = 3,216 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −5,168 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (12·10² + 7·3²)/19 = 66,47
sp = 8,153
Paklaidos riba
E = 2,093·8,153·√(1/13 + 1/8) = 7,668
Intervalas
2,5 ± 7,668 → [−5,168, 10,17]
Atsakymas
apatinis rėžis = −5,168 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Testo statistika
t = (77,32 − 75)/0,8 = 2,9
Atsakymas
t = 2,9
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 50,63
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·5/√49 = 1,175
Intervalo rėžis
L = 51,8 − 1,175 = 50,63
Atsakymas
L = 50,63
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,991
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1170 − 42·136/6 = 218
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3774 − 136²/6 = 691,3
Koreliacijos koeficientas
r = 218/√(70·691,3) = 0,991
Atsakymas
r = 0,991
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −2,667
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 118/6 = 19,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Regresijos tiesė
b = −35/17,5 = −2
a = 19,67 − (−2)·3,5 = 26,67
ŷ = 26,67 − 2·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 26,67 + (−2)·1,5 = 23,67
Liekana
e = 21 − 23,67 = −2,667
Atsakymas
e = −2,667
Taškas yra po tiese.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 9,061
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
studentai: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18
darbuotojai: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45
Chi kvadrato statistika
χ² = (8 − 6)²/6 + (22 − 16)²/16 + (10 − 18)²/18 + (13 − 15)²/15 + (34 − 40)²/40 + (53 − 45)²/45
χ² = 9,061
Atsakymas
χ² = 9,061
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 0,7857
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
amžius 18–30: 30, 70
amžius 31–50: 24, 56
amžius 51+: 24, 56
Chi kvadrato statistika
χ² = (32 − 30)²/30 + (68 − 70)²/70 + (21 − 24)²/24 + (59 − 56)²/56 + (25 − 24)²/24 + (55 − 56)²/56
χ² = 0,7857
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 5,991
0,7857 < 5,991
Atsakymas
χ² = 0,7857
χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology