Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrėjas tiria lyties poveikį atminties įverčiams. Kodėl tai kvazieksperimentas, o ne tikras eksperimentas?

  1. ANK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti
  2. BYra tik dvi sąlygos, o tikram eksperimentui reikia bent trijų NK lygių
  3. CPK nematuojamas
  4. DTyrimas vyksta laboratorijoje
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Pacientai, atrinkti dėl ypač didelių nerimo įverčių, antrame teste net be gydymo surenka mažesnius įverčius. Koks labiausiai tikėtinas paaiškinimas?

  1. AKontrabalansavimas
  2. BRegresija į vidurkį
  3. CLubų efektas
  4. DHawthorne efektas
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
18202224262830323436

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 27, 31, 17, 17, 20, 37, 20.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 118?

μ = 100σ = 12x = 118
P =
5.TikimybėVidutinis
raudoni: 3mėlyni: 8

Maišelyje yra 3 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

3 / 8
P =
6.TikimybėSunkus
n = 6, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,1
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
340 kg388 kgT = X₁ + … + X₄?

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 388 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 388 kg
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gapačia 90%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 12, sd​ = 5,30LU = ?d̄ = 4,1E99%

12 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,1, o standartinis nuokrypis 5,3. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 12d̄ = 4,1sd = 5,399%t(11) = 3,106
viršutinis rėžis = mmHg
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(20) = 2,8450LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 14 sklypų, vidutinis derlius 93,5 kg, standartinis nuokrypis 9 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 87 kg, standartinis nuokrypis 5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 14x̄₁ = 93,5s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 87s₂ = 599%t(20) = 2,845
viršutinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
2,12p = ?

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 502,12. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 500σ = 5n = 25x̄ = 502,12H₁: μ > μ₀
p =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 20, galia 80%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 4σ = 20zα = 2,326zβ = 0,842
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy125226326423521617xy2462025

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy189620106221142412226136xy2025100120140x = 23

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (23, 123). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(23, 123)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji83240nerūkantieji285280Iš viso3684120

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 4
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · NK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti

Kodėl tai yra atsakymas

Kvazieksperimente NK yra natūraliai egzistuojantis žmonių skirtumas. Be atsitiktinio paskirstymo kiti grupių skirtumai gali supainioti rezultatus.

Atsakymas

A · NK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Regresija į vidurkį

Kodėl tai yra atsakymas

Kai žmonės atrenkami dėl kraštutinių įverčių, dėl matavimo paklaidos ir atsitiktinumo jų vėlesni įverčiai linkę artėti prie vidurkio. Kontrolinės grupės padeda tai atskirti nuo gydymo poveikio.

Atsakymas

B · Regresija į vidurkį
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 7,712

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 169/7 = 24,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,857² + 6,857² + (−7,143)² + (−7,143)² + (−4,143)² + 12,86² + (−4,143)² = 356,9

Standartinis nuokrypis

s = √(356,9/6) = 7,712

Atsakymas

s = 7,712
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,05455

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Atsakymas

P = 0,05455
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,8857

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543

Sudėkite

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Atsakymas

P = 0,8857
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9772

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg

Standartizuokite

z = (388 − 340)/24 = 2

Tikimybė

P = Φ(2) = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 256,4 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Atsakymas

x = 256,4 g
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 8,852 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 11, t = 3,106

Paklaidos riba

E = 3,106·5,3/√12 = 4,752

Intervalas

4,1 ± 4,752 → [−0,6521, 8,852]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 8,852 mmHg
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 16,38 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (13·9² + 7·5²)/20 = 61,4
sp = 7,836

Paklaidos riba

E = 2,845·7,836·√(1/14 + 1/8) = 9,88

Intervalas

6,5 ± 9,88 → [−3,38, 16,38]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 16,38 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,017

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (502,12 − 500)/1 = 2,12

Uodegos plotas

Φ(2,12) = 0,9830
1 − Φ(2,12) = 0,0170

p reikšmė

p = 0,017

Atsakymas

p = 0,017

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 251

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·20/4)² = 250,9

Apvalinkite aukštyn

n = 251

Atsakymas

n = 251
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,7751

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 62

Determinacijos koeficientas

r² = −29²/(17,5·62) = 0,7751

Atsakymas

r² = 0,7751

Apie 77,51% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,4

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 574/5 = 114,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Regresijos tiesė

b = 192/40 = 4,8
a = 114,8 − 4,8·22 = 9,2
ŷ = 9,2 + 4,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 9,2 + 4,8·23 = 119,6

Liekana

e = 123 − 119,6 = 3,4

Atsakymas

e = 3,4

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,857

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 40·36/120 = 12, 40·84/120 = 28
nerūkantieji: 80·36/120 = 24, 80·84/120 = 56

Chi kvadrato statistika

χ² = (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28 + (28 − 24)²/24 + (52 − 56)²/56
χ² = 2,857

Atsakymas

χ² = 2,857

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology