Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:
- ATyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
- BDalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
- CRezultatai taptų statistiškai reikšmingi
- DVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas matuoja triukšmo poveikį koncentracijai. Triukšmo sąlygos dalyviai atsitiktinai buvo tiriami ryte, o tylos sąlygos – po pietų. Kokia problema?
- AParos laikas yra priklausomasis kintamasis
- BDuomenys yra nominaliosios skalės
- CTyrime per daug sąlygų
- DParos laikas yra painiojantysis kintamasis
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 53, 43, 25, 57, 28.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 50?
μ = 70σ = 20x = 50
P =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,25, 0,1
σ =
6.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,6
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 240,25 ir 255,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 255,25
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 elementų imties vidurkis – 107, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 13x̄ = 107s = 1095%t(12) = 2,179
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4,7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 4,7 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −1,32, o skirtumų standartinis nuokrypis 3,2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −1,32sd = 3,2
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 105 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 96 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 96n₂ = 300
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 15?
n = 5ŷ = 15
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
Kodėl tai yra atsakymas
Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.
Atsakymas
D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis
Kodėl tai yra atsakymas
Kadangi triukšmas ir tyrimo laikas kinta kartu, bet koks skirtumas gali kilti dėl bet kurio iš jų. Atsitiktinis tyrimo laiko paskirstymas arba pastovus laikas pašalintų painiojantįjį veiksnį.
Atsakymas
D · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,51
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 226/6 = 37,67
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−17,67)² + 15,33² + 5,333² + (−12,67)² + 19,33² + (−9,667)² = 1203
Standartinis nuokrypis
s = √(1203/5) = 15,51
Atsakymas
s = 15,51
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,1587
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
5.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,364
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,25 + 5·0,1 = 2,8
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,25 + 25·0,1 = 9,7
Dispersija
Var(X) = 9,7 − 2,8² = 1,86
σ = √1,86 = 1,364
Atsakymas
σ = 1,364
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,01884
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Sudėkite
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Atsakymas
P = 0,01884
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8276
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
Plotas tarp
P = Φ(1,05) − Φ(−1,95) = 0,8531 − 0,02559 = 0,8276
Atsakymas
P = 0,8276
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 248,8 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,4
z iš lentelės
z ≈ −0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Atsakymas
x = 248,8 g
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 113
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Paklaidos riba
E = 2,179·10/√13 = 6,043
Intervalas
107 ± 6,043 → [101, 113]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 113
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 3,596 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·4,7² = 441,8
σ² rėžiai
441,8/34,17 = 12,93
441,8/9,591 = 46,06
σ rėžis
σ = √12,93 = 3,596 µm
Atsakymas
σ = 3,596 µm
σ 95 % intervalas: [3,596, 6,787] µm.
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,304
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 3,2/√10 = 1,012
Testo statistika
t = −1,32/1,012 = −1,304
Atsakymas
t = −1,304
Kai df = 9, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,262; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,7785
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 105/300 = 0,35
p̂₂ = 96/300 = 0,32
p̂ = 201/600 = 0,335
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,335·0,665·(1/300 + 1/300)) = 0,03854
Testo statistika
z = (0,35 − 0,32)/0,03854 = 0,7785
Atsakymas
z = 0,7785
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9434
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 250/5 = 50
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 196
Determinacijos koeficientas
r² = 43²/(10·196) = 0,9434
Atsakymas
r² = 0,9434
Apie 94,34% y kitimo paaiškinama tiese.
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,333
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Regresijos tiesė
b = −24/10 = −2,4
a = 18,2 − (−2,4)·3 = 25,4
ŷ = 25,4 − 2,4·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (15 − 25,4)/(−2,4) = 4,333
Atsakymas
x = 4,333
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 0,1964
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
dieninė pamaina: 80·32/160 = 16, 80·72/160 = 36, 80·56/160 = 28
naktinė pamaina: 80·32/160 = 16, 80·72/160 = 36, 80·56/160 = 28
Chi kvadrato statistika
χ² = (15 − 16)²/16 + (36 − 36)²/36 + (29 − 28)²/28 + (17 − 16)²/16 + (36 − 36)²/36 + (27 − 28)²/28
χ² = 0,1964
Atsakymas
χ² = 0,1964
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 17,04
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
amžius 18–30: 56, 24
amžius 31–50: 28, 12
amžius 51+: 70, 30
Chi kvadrato statistika
χ² = (45 − 56)²/56 + (35 − 24)²/24 + (37 − 28)²/28 + (3 − 12)²/12 + (72 − 70)²/70 + (28 − 30)²/30
χ² = 17,04
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 5,991
17,04 > 5,991
Atsakymas
χ² = 17,04
χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology