Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

p reikšmė 0,03 reiškia:

ATurint stebėtus duomenis, nulinė hipotezė teisinga tik su 3 % tikimybe
BJei nulinė hipotezė būtų teisinga, tokie kraštutiniai duomenys pasitaikytų maždaug 3% atvejų
CRezultatas pasikartos 97% atvejų
DPoveikis didelis

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Kuris neparametrinis testas lygina dvi priklausomas imtis, pvz., rezultatus prieš ir po ranginėje skalėje?

AChi kvadrato nepriklausomumo testas
BVilkoksono ženklų rangų testas
CMano ir Vitnio U testas
DNepriklausomų imčių t testas

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 16, 48, 27, 51, 12.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Raskite rezultato 452 z įvertį z.

μ = 500σ = 40x = 452

z =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 8

P =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €15 su tikimybe 0,25 ir €60 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€15: p = 0,25€60: p = 0,05

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 176,25 ir 190,6 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 190,6

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 7,9, o standartinis nuokrypis 3,2. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 12d̄ = 7,9s_d = 3,290%t(11) = 1,796

E = mmHg

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 2,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.

n = 30s = 2,5 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

20 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 1,19, o skirtumų standartinis nuokrypis 1,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 1,19s_d = 1,4

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 0,595%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 105Σy = 534Σx² = 2295Σy² = 59680Σxy = 11700

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 46). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(6, 46)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Jei nulinė hipotezė būtų teisinga, tokie kraštutiniai duomenys pasitaikytų maždaug 3% atvejų

Kodėl tai yra atsakymas

p reikšmė yra tikimybė gauti bent tokius kraštutinius rezultatus kaip stebėti, jei nulinė hipotezė būtų teisinga. Ji nenurodo hipotezės teisingumo tikimybės ar poveikio dydžio.

Atsakymas

B · Jei nulinė hipotezė būtų teisinga, tokie kraštutiniai duomenys pasitaikytų maždaug 3% atvejų

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Vilkoksono ženklų rangų testas

Kodėl tai yra atsakymas

Vilkoksono ženklų rangų testas skirtas suporuotiems ranginiams duomenims; Mano ir Vitnio U testas yra jo atitikmuo nepriklausomoms grupėms.

Atsakymas

B · Vilkoksono ženklų rangų testas

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,96

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 154/5 = 30,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−14,8)² + 17,2² + (−3,8)² + 20,2² + (−18,8)² = 1291

Standartinis nuokrypis

s = √(1291/4) = 17,96

Atsakymas

s = 17,96

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Standartizuokite

z = (452 − 500)/40 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7674

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Atsakymas

P = 0,7674

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 3,75 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 12 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Laukiamoji vertė

E(G) = 12·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 3,75 €

Atsakymas

E(G) = 3,75 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5628

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Plotas tarp

P = Φ(1,8) − Φ(−0,25) = 0,9641 − 0,4013 = 0,5628

Atsakymas

P = 0,5628

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 551 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Atsakymas

x = 551 h

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,659 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 11, t = 1,796

Paklaidos riba

E = 1,796·3,2/√12 = 1,659

Atsakymas

E = 1,659 mmHg

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 3,361 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 29·2,5² = 181,3

σ² rėžiai

181,3/45,722 = 3,964

181,3/16,047 = 11,29

σ rėžis

σ = √11,29 = 3,361 µm

Atsakymas

σ = 3,361 µm

σ 95 % intervalas: [1,991, 3,361] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 3,801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 1,4/√20 = 0,313

Testo statistika

t = 1,19/0,313 = 3,801

Atsakymas

t = 3,801

Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1537

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·10/0,5)² = 1537

Apvalinkite aukštyn

n = 1537

Atsakymas

n = 1537

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9954

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 11700 − 105·534/5 = 486

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 59680 − 534²/5 = 2649

Koreliacijos koeficientas

r = 486/√(90·2649) = 0,9954

Atsakymas

r = 0,9954

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,9

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 236/5 = 47,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Regresijos tiesė

b = 108/40 = 2,7

a = 47,2 − 2,7·5 = 33,7

ŷ = 33,7 + 2,7·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 33,7 + 2,7·6 = 49,9

Liekana

e = 46 − 49,9 = −3,9

Atsakymas

e = −3,9

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 8,889

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 40·96/160 = 24, 40·64/160 = 16

moterys: 120·96/160 = 72, 120·64/160 = 48

Chi kvadrato statistika

χ² = (16 − 24)²/24 + (24 − 16)²/16 + (80 − 72)²/72 + (40 − 48)²/48

χ² = 8,889

Atsakymas

χ² = 8,889

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,425

Tikėtini dažniai

linija 1: 24, 56

linija 2: 18, 42

linija 3: 18, 42

Chi kvadrato statistika

χ² = (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18 + (36 − 42)²/42

χ² = 4,425

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,425 < 5,991

Atsakymas

χ² = 4,425

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology