Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

ANaudoja netinkamą statistinį testą
BAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
CNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
DSurenka per daug duomenų

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Imties didinimas tyrime tiesiogiausiai:

APašalina iš imties bet kokį šališkumą
BPadidina statistinę galią aptikti tikrą poveikį
CPadidina poveikio dydį
DGarantuoja statistiškai reikšmingą rezultatą, jei poveikis egzistuoja

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 53, 21, 15, 15.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 440?

μ = 500σ = 75x = 440

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,05, 0,15Y = 0,5X + 4

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 235,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 235.6 g

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −7,7, o standartinis nuokrypis 3,5. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 13d̄ = −7,7s_d = 3,590%t(12) = 1,782

E = mmHg

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 26. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 26E = 0,590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 70,68, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,68s = 12n = 25

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

81 matavimų imties vidurkis – 75,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 75,1σ = 4n = 8190%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 105Σy = 534Σx² = 2245Σy² = 58060Σxy = 11414

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (18, 68). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(18, 68)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 7 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 7

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Padidina statistinę galią aptikti tikrą poveikį

Kodėl tai yra atsakymas

Didesnės imtys sumažina standartinę paklaidą ir padidina galią. Jos nekeičia tikrojo poveikio dydžio ir nepašalina sisteminio šališkumo.

Atsakymas

B · Padidina statistinę galią aptikti tikrą poveikį

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,4

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 140/5 = 28

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 8² + 25² + (−7)² + (−13)² + (−13)² = 1076

Standartinis nuokrypis

s = √(1076/4) = 16,4

Atsakymas

s = 16,4

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7881

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 0,9421

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,75

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,95

Dispersija

Var(X) = 3,95 − 1,75² = 0,8875

σ = √0,8875 = 0,9421

Atsakymas

σ = 0,9421

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 0,6595

X sklaida

μ = 2,6, Var(X) = 1,74, σ_X = 1,319

Tiesinis pokytis

σ_Y = |0,5|·1,319 = 0,6595

Atsakymas

σ_Y = 0,6595

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·2,6 + 4 = 5,3.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06681

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 240 g, σ_T = 1,2·√6 = 2,939 g

Standartizuokite

z = (235,6 − 240)/2,939 = −1,5

Tikimybė

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 110,1 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 tšk.

Atsakymas

x = 110,12 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,73 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 12, t = 1,782

Paklaidos riba

E = 1,782·3,5/√13 = 1,73

Atsakymas

E = 1,73 mmHg

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 7318

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·26/0,5)² = 7317

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 7318

Atsakymas

n = 7318

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Testo statistika

t = (70,68 − 75)/2,4 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 75,83

Paklaidos riba

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Intervalo rėžis

U = 75,1 + 0,7311 = 75,83

Atsakymas

U = 75,83

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9859

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 11414 − 105·534/5 = 200

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 58060 − 534²/5 = 1029

Koreliacijos koeficientas

r = 200/√(40·1029) = 0,9859

Atsakymas

r = 0,9859

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,15

Vidurkiai

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 445/5 = 89

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

Regresijos tiesė

b = 238/40 = 5,95

a = 89 − 5,95·21 = −35,95

ŷ = −35,95 + 5,95·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −35,95 + 5,95·18 = 71,15

Liekana

e = 68 − 71,15 = −3,15

Atsakymas

e = −3,15

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 3,004

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40

naktinė pamaina: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16

Chi kvadrato statistika

χ² = (34 − 30)²/30 + (27 − 30)²/30 + (39 − 40)²/40 + (8 − 12)²/12 + (15 − 12)²/12 + (17 − 16)²/16

χ² = 3,004

Atsakymas

χ² = 3,004

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 5

Laisvės laipsniai

df = 7 − 1 − 1 = 5

Atsakymas

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology