Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Vidurkio 50 95% pasikliautinasis intervalas yra nuo 46 iki 54. Kokia tiksliausia interpretacija?

  1. ANaudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį
  2. B95 % atskirų imties dalyvių šio matavimo įverčiai buvo tarp 46 ir 54
  3. CYra 95% tikimybė, kad imties vidurkis yra 50
  4. DRezultatas nereikšmingas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Kodėl daugelis tyrėjų teigia, kad p reikšmes reikėtų pateikti kartu su poveikio dydžiais ir pasikliautinaisiais intervalais?

  1. APasikliautinieji intervalai reikalingi tik kokybiniuose tyrimuose
  2. BDėl poveikio dydžių imties dydis tampa nesvarbus reikšmingumui
  3. CP reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis
  4. DP reikšmės rodo tikimybę, kad hipotezė teisinga
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
3035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 31, 31, 47, 53, 29.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 52 z įvertį z.

μ = 70σ = 15x = 52
z =
5.TikimybėVidutinis
raudoni: 7mėlyni: 6

Maišelyje yra 7 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

7 / 6
P =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−20,8380,15980,02

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,15 ir €100 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€10: p = 0,15€100: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,1587

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1587. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1587
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
10 cm0X − Y?

Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 15, s = 19,5L = ?Ux̄ = 63,5E95%

15 elementų imties vidurkis – 63,5, standartinis nuokrypis s = 19,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 15x̄ = 63,5s = 19,595%t(14) = 2,145
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 5E = 1,595%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,1312,131t = ?df = 15

16 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 1,04, o skirtumų standartinis nuokrypis 3,2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = 1,04sd = 3,2
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

100 matavimų imties vidurkis – 501,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 501,2σ = 8n = 10090%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy21241962783410441250xy5102040

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy126219318416514xy24152025x = 3,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 13). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 13)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina34322086naktinė pamaina263341100Iš viso606561186

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, didelis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 86stulpelio suma = 61N = 186
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
išlaikėneišlaikėIš visogamykla A301040gamykla B7525100gamykla C71980Iš viso17644220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Naudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį

Kodėl tai yra atsakymas

95% PI pateikia tikėtinų populiacijos parametro reikšmių intervalą. Siauresni intervalai, gaunami iš didesnių imčių, reiškia tikslesnius įverčius.

Atsakymas

A · Naudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

Kodėl tai yra atsakymas

P reikšmė labai priklauso nuo imties dydžio ir tik parodo, kiek duomenys netikėti esant nulinei hipotezei. Poveikio dydžiai rodo mastą, o intervalai – tikslumą.

Atsakymas

C · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 11,01

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 191/5 = 38,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−7,2)² + (−7,2)² + 8,8² + 14,8² + (−9,2)² = 484,8

Standartinis nuokrypis

s = √(484,8/4) = 11,01

Atsakymas

s = 11,01
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (52 − 70)/15 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2692

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Atsakymas

P = 0,2692
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,5 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 8 (p = 0,15), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)

Laukiamoji vertė

E(G) = 8·0,15 + 98·0,02 − 2·0,83 = 1,5 €

Atsakymas

E(G) = 1,5 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8413 ir nuskaitykite z.

z = 1,00

Atsakymas

z = 1,00
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7389

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartizuokite

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Atsakymas

P = 0,7389
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 52,7

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Paklaidos riba

E = 2,145·19,5/√15 = 10,8

Intervalas

63,5 ± 10,8 → [52,7, 74,3]

Atsakymas

apatinis rėžis = 52,7
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 43

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 43

Atsakymas

n = 43
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 3,2/√16 = 0,8

Testo statistika

t = 1,04/0,8 = 1,3

Atsakymas

t = 1,3

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 499,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·8/√100 = 1,316

Intervalo rėžis

L = 501,2 − 1,316 = 499,9

Atsakymas

L = 499,9
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9985

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 186/6 = 31

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1060

Koreliacijos koeficientas

r = 272/√(70·1060) = 0,9985

Atsakymas

r = 0,9985
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,25

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regresijos tiesė

b = −27/10 = −2,7
a = 18,6 − (−2,7)·3 = 26,7
ŷ = 26,7 − 2,7·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 26,7 + (−2,7)·3,5 = 17,25

Liekana

e = 13 − 17,25 = −4,25

Atsakymas

e = −4,25

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 28,2

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 86·61/186 = 28,2

Atsakymas

E = 28,2
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6,016

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

gamykla A: 32, 8
gamykla B: 80, 20
gamykla C: 64, 16

Chi kvadrato statistika

χ² = (30 − 32)²/32 + (10 − 8)²/8 + (75 − 80)²/80 + (25 − 20)²/20 + (71 − 64)²/64 + (9 − 16)²/16
χ² = 6,016

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 5,991
6,016 > 5,991

Atsakymas

χ² = 6,016

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology