Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Tyrimas yra iš anksto užregistruotas (preregistered). Tai reiškia, kad:
- AHipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
- BTyrimas jau paskelbtas
- CDalyviai savo sutikimą registruoja internetu
- DRezultatus prieš paskelbimą patikrino ir patvirtino antras, nepriklausomas statistikas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas renka duomenis devyniais laiko taškais ir kiekvieną kartą testuoja 5% lygmeniu be korekcijos. Kokia problema?
- ADuomenys kaskart tampa patikimesni, todėl paskutinis testas yra tiksliausias
- BPoveikio dydis su kiekvienu testu mažėja
- CTikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
- DToks metodas nekelia jokių problemų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 11, 16, 21, 26, 19, 13.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Raskite rezultato 420 z įvertį z.
μ = 500σ = 40x = 420
z =
5.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 7 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 7k = 2
N =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = 10X + 4
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6217. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,6217
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
9 elementų imties vidurkis – 79, standartinis nuokrypis s = 11. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 9x̄ = 79s = 1195%t(8) = 2,306
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 59 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. 2 sklypų grupė: 12 sklypų, vidurkis 71 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 5x̄₁ = 59s₁ = 5,5n₂ = 12x̄₂ = 71s₂ = 1,595%t(15) = 2,131
viršutinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 198,2, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 8n = 100
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 102,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 102,4σ = 12n = 4990%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 70Σx² = 55Σy² = 1060Σxy = 182
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 6 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Hipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
Kodėl tai yra atsakymas
Išankstinė registracija atskiria patvirtinamąsias analizes nuo žvalgomųjų ir mažina tokias praktikas kaip p-hacking ir HARKing.
Atsakymas
A · Hipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
Kodėl tai yra atsakymas
Atlikus devynis nepriklausomus testus, bent vienos I rūšies klaidos tikimybė yra apie 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Tam spręsti taikomos korekcijos, pvz., Bonferonio.
Atsakymas
C · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 5,502
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 106/6 = 17,67
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−6,667)² + (−1,667)² + 3,333² + 8,333² + 1,333² + (−4,667)² = 151,3
Standartinis nuokrypis
s = √(151,3/5) = 5,502
Atsakymas
s = 5,502
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (420 − 500)/40 = −2
Atsakymas
z = −2
5.Tikimybė
Atsakymas: N = 21
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Atsakymas
N = 21
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 94,21
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 27,5, Var(X) = 88,75, σX = 9,421
Tiesinis pokytis
σY = |10|·9,421 = 94,21
Atsakymas
σY = 94,21
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·27,5 + 4 = 279.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −0,31
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,6217 = 0,3783
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,3783 ir nuskaitykite z.
z = −0,31
Atsakymas
z = −0,31
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 189,5 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Atgal į x
x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm
Atsakymas
x = 189,51 cm
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 87,46
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Paklaidos riba
E = 2,306·11/√9 = 8,455
Intervalas
79 ± 8,455 → [70,54, 87,46]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 87,46
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −8,464 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·5,5² + 11·1,5²)/15 = 9,717
sp = 3,117
Paklaidos riba
E = 2,131·3,117·√(1/5 + 1/12) = 3,536
Intervalas
−12 ± 3,536 → [−15,54, −8,464]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −8,464 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,25
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Testo statistika
t = (198,2 − 200)/0,8 = −2,25
Atsakymas
t = −2,25
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 99,58
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·12/√49 = 2,82
Intervalo rėžis
L = 102,4 − 2,82 = 99,58
Atsakymas
L = 99,58
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9899
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 182 − 15·70/5 = −28
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1060 − 70²/5 = 80
Koreliacijos koeficientas
r = −28/√(10·80) = −0,9899
Atsakymas
r = −0,9899
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 76,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 307/5 = 61,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
Regresijos tiesė
b = 202/40 = 5,05
a = 61,4 − 5,05·6 = 31,1
ŷ = 31,1 + 5,05·x
Prognozė
ŷ = 31,1 + 5,05·9 = 76,55
Atsakymas
ŷ = 76,55
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 3,232
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
naujas vaistas: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22
placebas: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22
Chi kvadrato statistika
χ² = (22 − 18)²/18 + (18 − 22)²/22 + (14 − 18)²/18 + (26 − 22)²/22
χ² = 3,232
Atsakymas
χ² = 3,232
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 9,488
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 6 − 1 − 1 = 4
Lentelė
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Atsakymas
χ²crit = 9,488
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology