Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Ekspertai tikrina, ar matematikos egzamino punktai apima visas programos temas. Tai vertina:
- AEkologinį validumą
- BPrognostinį validumą
- CTesto ir pakartotinio testo patikimumą
- DTurinio validumą
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Atminties tyrime naudojamas pakartotinių matavimų planas, kai visi pirmiausia mokosi sąrašo A, o tada sąrašo B. Sąrašas B atsimenamas geriau. Koks labiausiai tikėtinas trūkumas?
- AEiliškumo efektai, pvz., praktika, nes sąlygos nebuvo kontrabalansuotos
- BRanginės matavimo skalės naudojimas
- CPer didelė imtis
- DIndividualūs grupių skirtumai
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 37, 27, 36, 26, 39, 59.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 58?
μ = 50σ = 20x = 58
P =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,15, 0,15
σ =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35Y = 5X + 5
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9109. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9109
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 elementų imties vidurkis – 52, standartinis nuokrypis s = 3,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 7x̄ = 52s = 3,599%t(6) = 3,707
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 17. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 17E = 199%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 112,2, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 112,2s = 15n = 25
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 73,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 73,8σ = 10n = 2590%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.
n = 5x = 5,5
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, didelis“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 103stulpelio suma = 80N = 201
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 7 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Turinio validumą
Kodėl tai yra atsakymas
Turinio validumas yra tai, kiek matas apima visus svarbius konstrukto aspektus; paprastai jį vertina ekspertai.
Atsakymas
D · Turinio validumą
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Eiliškumo efektai, pvz., praktika, nes sąlygos nebuvo kontrabalansuotos
Kodėl tai yra atsakymas
Kai visi dalyviai sąlygas patiria ta pačia tvarka, pagerėjimas gali atspindėti praktiką, o ne sąrašą. Kontrabalansavimas (ABBA arba pusė AB, pusė BA) tai kontroliuoja.
Atsakymas
A · Eiliškumo efektai, pvz., praktika, nes sąlygos nebuvo kontrabalansuotos
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,69
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 244/7 = 34,86
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−14,86)² + 2,143² + (−7,857)² + 1,143² + (−8,857)² + 4,143² + 24,14² = 966,9
Standartinis nuokrypis
s = √(966,9/6) = 12,69
Atsakymas
s = 12,69
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,3446
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
5.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,424
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,65
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,75
Dispersija
Var(X) = 4,75 − 1,65² = 2,028
σ = √2,028 = 1,424
Atsakymas
σ = 1,424
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 54,49
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 27,5, Var(X) = 118,8, σX = 10,9
Tiesinis pokytis
σY = |5|·10,9 = 54,49
Atsakymas
σY = 54,49
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·27,5 + 5 = 142,5.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,7
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9109)/2 = 0,9554
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9554 ir nuskaitykite z.
z = 1,70
Atsakymas
z = 1,70
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 39,69 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Atsakymas
x = 39,69 min
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,904
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·3,5/√7 = 4,904
Atsakymas
E = 4,904
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1918
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·17/1)² = 1918
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1918
Atsakymas
n = 1918
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,6
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Testo statistika
t = (112,2 − 120)/3 = −2,6
Atsakymas
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 77,09
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·10/√25 = 3,29
Intervalo rėžis
U = 73,8 + 3,29 = 77,09
Atsakymas
U = 77,09
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9987
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 379/5 = 75,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174
Syy = Σ(y − ȳ)² = 758,8
Koreliacijos koeficientas
r = 174/√(40·758,8) = 0,9987
Atsakymas
r = 0,9987
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 53
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 256/5 = 51,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Regresijos tiesė
b = 36/10 = 3,6
a = 51,2 − 3,6·5 = 33,2
ŷ = 33,2 + 3,6·x
Prognozė
ŷ = 33,2 + 3,6·5,5 = 53
Atsakymas
ŷ = 53
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 41
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 103·80/201 = 41
Atsakymas
E = 41
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 16,81
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 7 − 1 = 6
Lentelė
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Atsakymas
χ²crit = 16,812
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology