Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Vidurkio 50 95% pasikliautinasis intervalas yra nuo 46 iki 54. Kokia tiksliausia interpretacija?
- ANaudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį
- B95 % atskirų imties dalyvių šio matavimo įverčiai buvo tarp 46 ir 54
- CYra 95% tikimybė, kad imties vidurkis yra 50
- DRezultatas nereikšmingas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrimas nustato, kad daugiau miegantys studentai turi geresnius pažymius. Kuris plano pakeitimas geriausiai leistų daryti priežastinę išvadą?
- AApklausti daugiau studentų
- BTiksliau matuoti pažymius
- CPaprašyti studentų du kartus nurodyti savo miegą ir apskaičiuoti abiejų atsakymų vidurkį
- DAtsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 14, 29, 24, 50.
n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 575?
μ = 500σ = 75x = 575
P =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35
σ =
6.TikimybėSunkus
Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 8p = 0,2k = 2
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 199,6 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,6 mm
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
11 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 3, o standartinis nuokrypis 2,4. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 11d̄ = 3sd = 2,490%t(10) = 1,812
E = mmHg
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 28. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 28E = 2,599%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −4,34, o skirtumų standartinis nuokrypis 4,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −4,34sd = 4,7
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 60 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 72 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 72n₂ = 100
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 25Σy = 356Σx² = 135Σy² = 25828Σxy = 1847
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?
k = 4
df =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Naudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį
Kodėl tai yra atsakymas
95% PI pateikia tikėtinų populiacijos parametro reikšmių intervalą. Siauresni intervalai, gaunami iš didesnių imčių, reiškia tikslesnius įverčius.
Atsakymas
A · Naudota procedūra sukuria intervalus, kurie 95% atvejų apima tikrąjį vidurkį
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
Kodėl tai yra atsakymas
Tik manipuliuojant miegu ir atsitiktinai priskiriant dalyvius kontroliuojami tretieji kintamieji ir galima priežastinė išvada, laikantis etikos ribų.
Atsakymas
D · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,59
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 154/5 = 30,8
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 6,2² + (−16,8)² + (−1,8)² + (−6,8)² + 19,2² = 738,8
Standartinis nuokrypis
s = √(738,8/4) = 13,59
Atsakymas
s = 13,59
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,1587
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
5.Tikimybė
Atsakymas: σ = 11,08
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,2 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,35 = 28,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 935
Dispersija
Var(X) = 935 − 28,5² = 122,8
σ = √122,8 = 11,08
Atsakymas
σ = 11,08
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2936
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 2) = 28·0,22·0,86 = 28·0,04·0,2621 = 0,2936
Atsakymas
P = 0,2936
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartizuokite
z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 448,7 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Atgal į x
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Atsakymas
x = 448,74 h
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,311 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 10, t = 1,812
Paklaidos riba
E = 1,812·2,4/√11 = 1,311
Atsakymas
E = 1,311 mmHg
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 833
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·28/2,5)² = 832,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 833
Atsakymas
n = 833
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,199
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 4,7/√12 = 1,357
Testo statistika
t = −4,34/1,357 = −3,199
Atsakymas
t = −3,199
Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,791
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 60/100 = 0,6
p̂₂ = 72/100 = 0,72
p̂ = 132/200 = 0,66
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,66·0,34·(1/100 + 1/100)) = 0,06699
Testo statistika
z = (0,6 − 0,72)/0,06699 = −1,791
Atsakymas
z = −1,791
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9663
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1847 − 25·356/5 = 67
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 25828 − 356²/5 = 480,8
Koreliacijos koeficientas
r = 67/√(10·480,8) = 0,9663
Atsakymas
r = 0,9663
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 58,95
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 289/5 = 57,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23
Regresijos tiesė
b = 23/10 = 2,3
a = 57,8 − 2,3·4 = 48,6
ŷ = 48,6 + 2,3·x
Prognozė
ŷ = 48,6 + 2,3·4,5 = 58,95
Atsakymas
ŷ = 58,95
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 2,133
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
studentai: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10
darbuotojai: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30
Chi kvadrato statistika
χ² = (24 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (8 − 10)²/10 + (56 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (32 − 30)²/30
χ² = 2,133
Atsakymas
χ² = 2,133
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: df = 2
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 4 − 1 − 1 = 2
Atsakymas
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology