Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:

ATyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
BDalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
CRezultatai taptų statistiškai reikšmingi
DVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Du stebėtojai žaidimų aikštelėje registruoja agresyvius veiksmus, ir jų skaičiai koreliuoja r = 0,45. Ką turėtų daryti tyrėjas?

ANaudoti tik didesnįjį iš dviejų skaičių
BPatikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
CPriimti duomenis, nes pakanka bet kokios teigiamos koreliacijos
DPereiti prie vienpusės hipotezės

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 56, 31, 57, 28, 39, 32, 48.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 52 z įvertį z.

μ = 70σ = 12x = 52

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3Y = 2X + 5

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė viršija 151,8 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 151,8 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 elementų imties vidurkis – 33, standartinis nuokrypis s = 17,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 16x̄ = 33s = 17,590%t(15) = 1,753

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 18E = 2,599%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 51,75, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,75s = 5n = 36

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 40 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 53 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 53n₂ = 120

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 91Σx² = 220Σy² = 2125Σxy = 682

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 6 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

Kodėl tai yra atsakymas

Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.

Atsakymas

D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

Kodėl tai yra atsakymas

Mažas stebėtojų tarpusavio patikimumas reiškia, kad kategorijos taikomos nenuosekliai. Aiškesni operaciniai apibrėžimai ir treniruotės turėtų padidinti sutarimą prieš pagrindinį duomenų rinkimą.

Atsakymas

B · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,12

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 291/7 = 41,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14,43² + (−10,57)² + 15,43² + (−13,57)² + (−2,571)² + (−9,571)² + 6,429² = 881,7

Standartinis nuokrypis

s = √(881,7/6) = 12,12

Atsakymas

s = 12,12

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (52 − 70)/12 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 2,227

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15,2

Dispersija

Var(X) = 15,2 − 3,2² = 4,96

σ = √4,96 = 2,227

Atsakymas

σ = 2,227

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 4,454

X sklaida

μ = 3,2, Var(X) = 4,96, σ_X = 2,227

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·2,227 = 4,454

Atsakymas

σ_Y = 4,454

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·3,2 + 5 = 11,4.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,07078

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standartizuokite

z = (151,8 − 150)/1,225 = 1,47

Tikimybė

P = 1 − Φ(1,47) = 0,07078

Atsakymas

P = 0,07078

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 81,45 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 tšk.

Atsakymas

x = 81,45 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 7,669

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Paklaidos riba

E = 1,753·17,5/√16 = 7,669

Atsakymas

E = 7,669

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 344

Išreikškite n

n = (2,576·18/2,5)² = 344

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 344

Atsakymas

n = 344

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Testo statistika

t = (51,75 − 50)/0,8333 = 2,1

Atsakymas

t = 2,1

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −0,6229

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 40/100 = 0,4

p̂₂ = 53/120 = 0,4417

p̂ = 93/220 = 0,4227

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4227·0,5773·(1/100 + 1/120)) = 0,06689

Testo statistika

z = (0,4 − 0,4417)/0,06689 = −0,6229

Atsakymas

z = −0,6229

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9932

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 682 − 30·91/5 = 136

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2125 − 91²/5 = 468,8

Koreliacijos koeficientas

r = 136/√(40·468,8) = 0,9932

Atsakymas

r = 0,9932

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 10,1

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Regresijos tiesė

b = 76/40 = 1,9

a = 12 − 1,9·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 1,9·x

Prognozė

ŷ = 0,6 + 1,9·5 = 10,1

Atsakymas

ŷ = 10,1

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,08791

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

moterys: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

Chi kvadrato statistika

χ² = (36 − 35)²/35 + (64 − 65)²/65 + (34 − 35)²/35 + (66 − 65)²/65

χ² = 0,08791

Atsakymas

χ² = 0,08791

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 13,28

Laisvės laipsniai

df = 6 − 1 − 1 = 4

Lentelė

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Atsakymas

χ²_crit = 13,277

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology