Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrėjas tiria lyties poveikį atminties įverčiams. Kodėl tai kvazieksperimentas, o ne tikras eksperimentas?

AYra tik dvi sąlygos, o tikram eksperimentui reikia bent trijų NK lygių
BPK nematuojamas
CTyrimas vyksta laboratorijoje
DNK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Dalyvis vartoja vaistą arba cukraus tabletę, bet nežino, kurį, o tyrėjas žino. Koks tai planas ir koks šališkumas lieka galimas?

AVienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas
BVienkartinis aklumas; užduoties reikalavimų požymiai neįmanomi
CDvigubas aklumas; joks šališkumas negalimas
DAtviras tyrimas; placebo efektai visiškai kontroliuojami

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 17, 44, 11, 54, 13.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 48?

μ = 60σ = 8x = 48

P =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 8

P =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3Y = −2X + 20

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9251. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9251

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −2,2, o standartinis nuokrypis 5,9. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 16d̄ = −2,2s_d = 5,999%t(15) = 2,947

apatinis rėžis = mmHg

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 31. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 31E = 2,595%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 117,6, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,6s = 12n = 49

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 76,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 76,5σ = 4n = 6499%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 23). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 23)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „kaimo, vidutinis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 66stulpelio suma = 60N = 153

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 8 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 8

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · NK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti

Kodėl tai yra atsakymas

Kvazieksperimente NK yra natūraliai egzistuojantis žmonių skirtumas. Be atsitiktinio paskirstymo kiti grupių skirtumai gali supainioti rezultatus.

Atsakymas

D · NK yra iš anksto esanti savybė, todėl dalyvių negalima atsitiktinai jai priskirti

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Vienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas

Kodėl tai yra atsakymas

Vienkartinio aklumo plane dalyviai nežino savo sąlygos, o tai kontroliuoja placebo lūkesčius. Tyrėjo žinojimas vis dar gali paveikti rezultatus, todėl labiau pageidaujami dvigubo aklumo planai.

Atsakymas

A · Vienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,79

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 139/5 = 27,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + 16,2² + (−16,8)² + 26,2² + (−14,8)² = 1567

Standartinis nuokrypis

s = √(1567/4) = 19,79

Atsakymas

s = 19,79

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7674

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Atsakymas

P = 0,7674

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,227

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,6, Var(X) = 1,24, σ_X = 1,114

Tiesinis pokytis

σ_Y = |−2|·1,114 = 2,227

Atsakymas

σ_Y = 2,227

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·1,6 + 20 = 16,8.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −1,44

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9251 = 0,0749

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0749 ir nuskaitykite z.

z = −1,44

Atsakymas

z = −1,44

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 73,42 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 tšk.

Atsakymas

x = 73,42 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −6,547 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 15, t = 2,947

Paklaidos riba

E = 2,947·5,9/√16 = 4,347

Intervalas

−2,2 ± 4,347 → [−6,547, 2,147]

Atsakymas

apatinis rėžis = −6,547 mmHg

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 591

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·31/2,5)² = 590,7

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 591

Atsakymas

n = 591

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Testo statistika

t = (117,6 − 120)/1,714 = −1,4

Atsakymas

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 77,79

Paklaidos riba

E = 2,576·4/√64 = 1,288

Intervalo rėžis

U = 76,5 + 1,288 = 77,79

Atsakymas

U = 77,79

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9987

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 564

Koreliacijos koeficientas

r = 150/√(40·564) = 0,9987

Atsakymas

r = 0,9987

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 2

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 87/5 = 17,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Regresijos tiesė

b = −24/10 = −2,4

a = 17,4 − (−2,4)·3 = 24,6

ŷ = 24,6 − 2,4·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 24,6 + (−2,4)·1,5 = 21

Liekana

e = 23 − 21 = 2

Atsakymas

e = 2

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 25,88

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 66·60/153 = 25,88

Atsakymas

E = 25,88

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 6

Laisvės laipsniai

df = 8 − 1 − 1 = 6

Atsakymas

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology