Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Studentas surenka 130 taškų teste, kurio vidurkis 100, o standartinis nuokrypis 15. Koks jo z įvertis?
- A3,0
- B1,5
- C0,5
- D2,0
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Poveikio dydžio matai, pvz., Koheno d, pateikiami todėl, kad jie:
- AParodo, ar rezultatas statistiškai reikšmingas pasirinktu alfa lygmeniu
- BPanaikina bet kokios hipotezės poreikį
- CParodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
- DNurodo, kiek dalyvių pasitraukė
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 30, 15, 30, 56, 53, 10, 32.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Raskite rezultato 440 z įvertį z.
μ = 500σ = 75x = 440
z =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 10X + 5
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 50 ir 70,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 70,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 62,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 5 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 69 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 30x̄₁ = 62,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 30x̄₂ = 69 hσ₂ = 4 h90%
apatinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 18E = 495%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 104,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 8 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 100,8 mm, žinomas standartinis nuokrypis 10 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 80x̄₁ = 104,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 100,8 mmσ₂ = 10 mm
z =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 11. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 80%δ = 4σ = 11zα = 2,326zβ = 0,842
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 94?
n = 6ŷ = 94
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 11 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · 2,0
Kodėl tai yra atsakymas
(130 − 100) / 15 = 2. Įvertis yra dviem standartiniais nuokrypiais virš vidurkio, didesnis nei maždaug 97–98% žmonių.
Atsakymas
D · 2,0
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
Kodėl tai yra atsakymas
Didelėse imtyse net menki poveikiai gali būti reikšmingi. Poveikio dydis išreiškia skirtumo mastą, pvz., d = 0,2 mažas, 0,5 vidutinis, 0,8 didelis.
Atsakymas
C · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 17,31
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 226/7 = 32,29
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + (−17,29)² + (−2,286)² + 23,71² + 20,71² + (−22,29)² + (−0,2857)² = 1797
Standartinis nuokrypis
s = √(1797/6) = 17,31
Atsakymas
s = 17,31
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −0,8
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (440 − 500)/75 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
5.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 144,8
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,1 + 40·0,35 = 25,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,1 + 1600·0,35 = 795
Dispersija
Var(X) = 795 − 25,5² = 144,8
Atsakymas
Var(X) = 144,8
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 11,17
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,55, Var(X) = 1,248, σX = 1,117
Tiesinis pokytis
σY = |10|·1,117 = 11,17
Atsakymas
σY = 11,17
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·2,55 + 5 = 30,5.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,642
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Plotas tarp
P = Φ(0,55) − Φ(−1,5) = 0,7088 − 0,06681 = 0,642
Atsakymas
P = 0,642
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 52,18 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Atgal į x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 tšk.
Atsakymas
x = 52,18 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −8,423 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 62,5 − 69 = −6,5
Standartinė paklaida
SE = √(5²/30 + 4²/30) = 1,169
Paklaidos riba
E = 1,645·1,169 = 1,923
Intervalas
−6,5 ± 1,923 → [−8,423, −4,577]
Atsakymas
apatinis rėžis = −8,423 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 78
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·18/4)² = 77,79
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 78
Atsakymas
n = 78
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,82
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(8²/80 + 10²/30) = √4,133 = 2,033
Testo statistika
z = (104,5 − 100,8)/2,033 = 1,82
Atsakymas
z = 1,82
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 76
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 0,842)·11/4)² = 75,9
Apvalinkite aukštyn
n = 76
Atsakymas
n = 76
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9749
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 318/5 = 63,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1273
Koreliacijos koeficientas
r = 330/√(90·1273) = 0,9749
Atsakymas
r = 0,9749
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 9,998
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 442/6 = 73,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 356
Regresijos tiesė
b = 356/70 = 5,086
a = 73,67 − 5,086·6 = 43,15
ŷ = 43,15 + 5,086·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (94 − 43,15)/5,086 = 9,998
Atsakymas
x = 9,998
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 1,905
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
rūkantieji: 60·126/180 = 42, 60·54/180 = 18
nerūkantieji: 120·126/180 = 84, 120·54/180 = 36
Chi kvadrato statistika
χ² = (46 − 42)²/42 + (14 − 18)²/18 + (80 − 84)²/84 + (40 − 36)²/36
χ² = 1,905
Atsakymas
χ² = 1,905
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 18,31
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 11 − 1 = 10
Lentelė
χ²crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307
Atsakymas
χ²crit = 18,307
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology