Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris planas kiekvienoje sąlygoje naudoja skirtingus dalyvius?

AVidinių tiriamųjų planas
BNepriklausomų grupių planas
CSuporuotų porų planas su tais pačiais žmonėmis
DPakartotinių matavimų planas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

AGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
BPatvirtinama pradinė hipotezė
CPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
DApklausta bent 1,000 dalyvių

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 38, 36, 29, 15, 16, 29.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 172?

μ = 170σ = 5x = 172

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €30 su tikimybe 0,2 ir €500 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€30: p = 0,2€500: p = 0,02

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 57,5 ir 85 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x₁ = 57,5x₂ = 85

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −2,9, o standartinis nuokrypis 5,5. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 12d̄ = −2,9s_d = 5,590%t(11) = 1,796

apatinis rėžis = mmHg

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 23,5 kg, standartinis nuokrypis 7 kg. 2 sklypų grupė: 26 sklypų, vidurkis 31,5 kg, standartinis nuokrypis 2 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 5x̄₁ = 23,5s₁ = 7n₂ = 26x̄₂ = 31,5s₂ = 299%t(29) = 2,756

E = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 98,8, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,8s = 4n = 36

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 23 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 9 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 9n₂ = 100

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 84?

n = 5ŷ = 84

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Nepriklausomų grupių planas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų grupių plane kiekviena sąlyga turi skirtingus dalyvius; taip išvengiama eilės efektų, bet atsiranda dalyvių kintamųjų rizika.

Atsakymas

B · Nepriklausomų grupių planas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

C · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,745

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 163/6 = 27,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 10,83² + 8,833² + 1,833² + (−12,17)² + (−11,17)² + 1,833² = 474,8

Standartinis nuokrypis

s = √(474,8/5) = 9,745

Atsakymas

s = 9,745

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 0,8367

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Dispersija

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Atsakymas

σ = 0,8367

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 6 €

Grynosios baigtys

G: 20 (p = 0,2), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 20·0,2 + 490·0,02 − 10·0,78 = 6 €

Atsakymas

E(G) = 6 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7506

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Plotas tarp

P = Φ(2) − Φ(−0,75) = 0,9772 − 0,2266 = 0,7506

Atsakymas

P = 0,7506

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 473 h

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Atsakymas

x = 473,02 h

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −5,752 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 11, t = 1,796

Paklaidos riba

E = 1,796·5,5/√12 = 2,852

Intervalas

−2,9 ± 2,852 → [−5,752, −0,04847]

Atsakymas

apatinis rėžis = −5,752 mmHg

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,3 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (4·7² + 25·2²)/29 = 10,21

s_p = 3,195

Paklaidos riba

E = 2,756·3,195·√(1/5 + 1/26) = 4,3

Atsakymas

E = 4,3 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Testo statistika

t = (98,8 − 100)/0,6667 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,468

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 9/100 = 0,09

p̂ = 32/250 = 0,128

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,128·0,872·(1/150 + 1/100)) = 0,04313

Testo statistika

z = (0,1533 − 0,09)/0,04313 = 1,468

Atsakymas

z = 1,468

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,965

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 110/6 = 18,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 93,33

Koreliacijos koeficientas

r = −39/√(17,5·93,33) = −0,965

Atsakymas

r = −0,965

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 18,43

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 459/5 = 91,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

Regresijos tiesė

b = 447/90 = 4,967

a = 91,8 − 4,967·20 = −7,533

ŷ = −7,533 + 4,967·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (84 − (−7,533))/4,967 = 18,43

Atsakymas

x = 18,43

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 3,821

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

studentai: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

darbuotojai: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

Chi kvadrato statistika

χ² = (13 − 15)²/15 + (45 − 40)²/40 + (42 − 45)²/45 + (8 − 6)²/6 + (11 − 16)²/16 + (21 − 18)²/18

χ² = 3,821

Atsakymas

χ² = 3,821

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology