Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Testas toks lengvas, kad beveik visi dalyviai surenka beveik maksimumą. Tai vadinama:

APraktikos efektu
BGrindų efektu
CEiliškumo efektu
DLubų efektu

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Savianalizės skalėje paaiškėja, kad žmonės, sutinkantys su daugeliu teiginių, surenka daug taškų nepriklausomai nuo turinio. Koks tai atsakymų šališkumas ir kaip jį galima sumažinti?

AEiliškumo efektai; kontrabalansuoti dalyvius
BUžduoties reikalavimų požymiai; naudoti dvigubo aklumo planą
CSocialinio pageidaujamumo šališkumas; naudoti didesnę imtį
DPritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 44, 59, 49, 33, 20.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 100. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 625?

μ = 500σ = 100x = 625

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 4

P =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 9p = 0,3k = 1

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 247,5 ir 257,75 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 257,75

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 85 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.85%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 110,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 123,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 110,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 123,5 hσ₂ = 14 h95%

viršutinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 10,5 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. 2 sklypų grupė: 10 sklypų, vidurkis −1,5 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 6x̄₁ = 10,5s₁ = 1,5n₂ = 10x̄₂ = −1,5s₂ = 9,599%t(14) = 2,977

E = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,75, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,75s = 5n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 2,590%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 374Σx² = 91Σy² = 24082Σxy = 1423

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, automobilis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 95stulpelio suma = 49N = 174

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 4 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 4

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Lubų efektu

Kodėl tai yra atsakymas

Lubų efektai paslepia sąlygų skirtumus, nes niekas negali surinkti daugiau. Grindų efektai yra priešingybė, kai užduotis per sunki.

Atsakymas

D · Lubų efektu

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

Kodėl tai yra atsakymas

Pritarimas yra polinkis sutikti su punktais. Sumaišius teigiamai ir neigiamai suformuluotus punktus, sutikimas su viskuo nebeduoda kraštutinio įverčio.

Atsakymas

D · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,02

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 205/5 = 41

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 3² + 18² + 8² + (−8)² + (−21)² = 902

Standartinis nuokrypis

s = √(902/4) = 15,02

Atsakymas

s = 15,02

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8944

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Atsakymas

P = 0,8944

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2778

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Atsakymas

P = 0,2778

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1556

Binominė formulė

P(X = 1) = 9·0,3¹·0,7⁸ = 9·0,3·0,05765 = 0,1556

Atsakymas

P = 0,1556

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6309

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309

Atsakymas

P = 0,6309

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 84,4 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,15

z iš lentelės

z ≈ −1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 tšk.

Atsakymas

x = 84,4 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −8,314 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 110,5 − 123,5 = −13

Standartinė paklaida

SE = √(7²/60 + 14²/40) = 2,391

Paklaidos riba

E = 1,96·2,391 = 4,686

Intervalas

−13 ± 4,686 → [−17,69, −8,314]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −8,314 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 11,79 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (5·1,5² + 9·9,5²)/14 = 58,82

s_p = 7,67

Paklaidos riba

E = 2,977·7,67·√(1/6 + 1/10) = 11,79

Atsakymas

E = 11,79 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Testo statistika

t = (71,75 − 75)/1,25 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 7

Išreikškite n

n = (1,645·4/2,5)² = 6,927

Apvalinkite aukštyn

n = 7

Atsakymas

n = 7

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9825

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1423 − 21·374/6 = 114

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 24082 − 374²/6 = 769,3

Koreliacijos koeficientas

r = 114/√(17,5·769,3) = 0,9825

Atsakymas

r = 0,9825

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 20,8

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresijos tiesė

b = 152/40 = 3,8

a = 24,6 − 3,8·6 = 1,8

ŷ = 1,8 + 3,8·x

Prognozė

ŷ = 1,8 + 3,8·5 = 20,8

Atsakymas

ŷ = 20,8

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 26,75

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 95·49/174 = 26,75

Atsakymas

E = 26,75

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology